ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
91
В результате записывают две системы уравнений:
систему для нулевой окружной гармоники
{
}
0, 0,
0, 0,
0, 0,
T
0,
0,1 0,2
0,
0;
n n
n n
n n
n
n
′′
′
+
+
=
=
A f
B f
C f
f
r r
r
"
(14)
и систему для
k
-
й гармоники
{
}
,
,
,
,
,
,
T
,
,1
,1
,2
,2
,
,
0;
.
k n k n
k n k n
k n k n
k n
k
k
k
k
k n k n
′′
′
+
+
=
=
A g B g C g
g r s r s
r s
"
(15)
Оператор
2
0,
0,
0,
n t
n t
n
d
d
+
+
A B C
имеет блочную структуру
3 3
×
,
каждый блок, согласно (14), (13), (12), имеет следующий вид:
(
)
( )
( )
2
0,
0,
0,
0
,
0
, ,
1, , ,
L
n t
n t
n
i
j
i j
d
d
x
x dx i j
n
+
+
=
=
⇒
∫
A B C
F D F
…
(
)
( )
2
0,
0,
0,
0,
,
1
0,
1, , .
n
n t
n t
n
j
i j
j
d
d
t
i
n
=
+
+
= =
∑
A B C r
…
(16)
Для ненулевых гармоник оператор
2
,
,
,
k n t
k n t
k n
d
d
+
+
A B C
также
имеет блочную структуру с размером блоков
6 6:
×
(
)
2
,
,
,
,
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
,
,
1, , ,
( )
( )
( )
( )
k n t
k n t
k n i j
L
L
i
j
i
j
L
L
i
j
i
j
d
d
x
x dx
x
x dx
i j
n
x
x dx
x
x dx
+
+
=
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
⇒
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
∫
∫
A B C
F XF
F YF
F YF
F XF
…
(
)
,
2
,
,
,
,
1
,
4
2
3
4
2
0
1
3
( )
0,
1, , ,
( )
,
.
n
k j
k n t
k n t
k n i j
j
k j
t
d
d
i
n
t
k
k
k k
=
⎧ ⎫ ⎪ ⎪
+
+
= =
⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎩ ⎭
= − +
= −
∑
r
A B C
s
X D D D Y D D
…
(17)
Решением уравнений (16), (17) являются амплитудные функции
0,
( )
j
t
r
и
,
,
( ),
( ).
k j
k j
t
t
r
s
Восстановление вектора
(
)
, ,
t x
ϕ
y
происходит
по следующим соотношениям:
(
)
( )
0,
,
1
1 1
, ,
( ) ( )
( ) ( )
cos
n
m n
j
j
j
k j
j
k j
t x
x t
x t
k
ϕ
ϕ
=
= =
≈
+
+
∑
∑ ∑
y
F r
F r