ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
87
Компоненты деформаций и кривизн в уравнении (2) связаны с
полем перемещений:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
1
2
2
2
2
12
,
;
,
;
,
.
x
x
x
x
x
u
w
v w R
w v R
v u R
w v R
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ε
χ
ε
χ
ε
τ
= ∂
= −∂
= ∂ +
= − ∂ − ∂
= ∂ + ∂
= − ∂ ∂ − ∂
.
Для вывода системы уравнений тонкостенной цилиндрической
оболочки вращения используем метод Остроградского — Гамильтона:
(
П) 0.
K
δ
− =
(3)
После варьирования в уравнении (3) получим систему уравнений
движения тонкостенной цилиндрической оболочки вращения во
вращающейся системе отсчета:
(
)
(
)
1 2
11
12
13
1 2
2
21
22
23
1 2
2
2
31
32
33
;
2
Ω Ω ;
2
Ω Ω 2 Ω ,
h
t
h
t
t
h
t
t
L u L v L w B u
L u L v L w B v
w v
L u L v L w B w v w R
ρ
ρ
ρ
−
−
−
+ + = ∂
+ + =
∂ + ∂ −
+ + = −
∂ − ∂ − −
(4)
где использованы следующие обозначения для симметричной матри-
цы дифференциальных операторов
i j
L
:
2
2
11
2
2
2
2
2
2
22
2
2 2
2
2 4
2 2
4
33
2
2
2
12
13
2
2
3
23
2
2
2
(1 ) ;
2
(1 )
1
1
2(1 )
;
2
12
1
1
2
;
12
(1 )
,
;
2
1
1
(2 )
.
12
x
x
x
x
x
x
x
x
L
R
h
L
R
R R
h
L
R
R R
R
L
L
R
R
h
L
R
R
R
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
−
= ∂ +
∂
−
⎡
⎤
=
∂ + ∂ +
∂ + − ∂
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
= +
∂ + ∂ ∂ + ∂
⎢
⎥
⎣
⎦
+ =
∂ ∂
= ∂
⎡
⎤
= ∂ −
− ∂ ∂ + ∂
⎢
⎥
⎣
⎦
Дискретизация системы.
Учитывая замкнутость оболочки по
окружной координате
ϕ
,
решение системы уравнений (4) будем ис-
кать в виде тригонометрических рядов:
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
[
]
(
)
(
) (
) (
)
{
}
0
1
T
, ,
,
,
cos
,
sin ;
, ,
, , ,
, , ,
, ,
.
k
k
t x
t x
t x
k
t x k
t x
u t x v t x w t x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∞
=
+
+
=
∑
y
p
p
q
y
(5)