86
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
При постановке задачи рассматривается тонкостенная вращаю-
щаяся вокруг собственной оси цилиндрическая оболочка (рис. 2).
Требуется получить систему уравнений движения конструкции,
найти собственные частоты и построить диаграмму зависимости соб-
ственных частот конструкции от частоты вращения. На рис. 2 изоб-
ражена схема задачи. Согласно принятым допущениям, основные со-
отношения теории оболочек были записаны в рамках классической
теории Кирхгофа — Лява (см., например, [10]).
1.
Материальный элемент, нормальный к срединной поверхности
оболочки, и после деформации последней остается нормальным к
изогнутой срединной поверхности.
2.
Изменением длины этого элемента пренебрегают.
3.
Нормальные напряжения в площадках, параллельных средин-
ной поверхности, не учитываются.
Вывод основных соотношений и уравнений.
Запишем выраже-
ние для кинетической энергии вращающейся цилиндрической обо-
лочки:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2 2
0 0
1
Ω
Ω
,
2
L
h t
t
t
K
u
v R w w v R dxd
π
ρ
ϕ
⎡
⎤
=
∂ + ∂ − + + ∂ −
⎣
⎦
∫ ∫
(1)
где
2
2
h
h
h
dz
ρ
ρ
−
=
∫
—
поверхностная плотность материала;
, ,
u v w
—
осевое, окружное и радиальное перемещения точки серединной по-
верхности оболочки. Частные производные указываем в следующем
виде:
t
u u t
∂ = ∂ ∂
.
Выражение для потенциальной энергии оболочки вращения име-
ет вид
2
1
2
1
2
0 0
Π
2
.
2
L
x
x
x
x
R N N N M M M dx d
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ε
ε
γ
χ
χ
τ
ϕ
=
+ + + +
+
⎡
⎤
⎣
⎦
∫ ∫
(2)
Здесь внутренние силы и моменты
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
2
1
2
1
12
,
;
,
;
1 ,
1 ,
2
x
x
x
x
N B
M D
N B
M D
N B
M D
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ε
με
χ
μχ
ε
με
χ
μχ
μ
ε
μ τ
= +
= +
= +
= +
−
=
= −
где
3
2
2
;
;
1
12(1 )
Eh
Eh
B
D
μ
μ
=
=
−
−
E
—
модуль упругости;
μ
—
коэф-
фициент Пуассона.