18
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
В соответствии с принятым законом деформирования в форме (3)
или, что то же самое, в форме (7), (8) можно получить следующие
выражения для модулей упругости:
1
1
1
( )
( )
( )
( )
2
;
( )
p
p J
−
−
−
⎛
⎞
∂
=
⊗ +
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
C
E
C C
C
1
1
1
2
2
1
11
12
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( ) 4
4
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
d
c
c
c
c
c
c
I
I
I
I
I
I
α
α
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
⎜
⎟
=
⊗ +
⊗ + ⊗ +
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
⎝
⎠
E
C C
C C C C
2
2
2
2
1
2
22
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
4
4
4
,
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
c
c
c
c
I
I
I
I
α
α
α
∂
∂
∂
∂
+
⊗ +
+
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
C C
C C
C C
(12)
где
2
2
11
2
1
ˆ
c
U
I
α
∂=
∂
;
2
2
12
1 2
ˆ ˆ
c
c
U
I I
α
∂ =
∂ ∂
;
2
2
22
2
2
ˆ
c
U
I
α
∂=
∂
;
⊗
—
знак тензорного
произведения.
Для краткости представления производных инвариантов (5), (6)
введем тензоры
1
1
1
( ) ( )
( )
3
c
I
−
= −
A I
C
,
1
1
2
2
( )
( ) ( )
( )
3
c
c
I
I
−
= − −
B I C
C
,
тогда
1
2/3
ˆ
( )
( )
c
I
J
−
∂
=
∂
A
C
,
2
4/3
ˆ
( )
( )
c
I
J
−
∂
==
∂
B
C
.
С учетом этих обозначений выражение для тензора модулей
упругости (12) приводим к виду
[
]
4 / 3
2
11
12
( ) 4
( ) ( ) 4
( ) ( ) ( ) ( )
d
J
J
α
α
−
−
=
⊗ +
⊗ + ⊗ +
E
A A
A B B A
8 / 3
2 / 3
1
1
22
1
4
4
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3
J
J
α
α
−
−
−
−
⎡
+
⊗ −
⊗ + ⊗ +
⎢⎣
B B
I C C I
1
1
1
4 / 3
1
1
1
2
( )
1
8
( )
( )
( ) ( )
( ) 3
3
c
c
I
I
J
α
−
−
−
−
−
⎤
∂
⎡
+
−
⊗ −
⊗ +
⎥
⎢
∂
⎦
⎣
C
C C
B C
C
1
1
1
1
2
2
( )
2
( )
( )
( )
( )
( ) 3
c
c
I
I
−
−
−
−
⎤
∂
+ ⊗ +
+
⊗ +
⎥
∂
⎦
C
C B
C C
C
4 / 3
2
( )
4
( ) ( )
.
( )
J
α
−
∂
⎡
⎤
+
⊗ −
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
C
I I
C
(13)