ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
15
2
2 1 2
ˆ ˆ
( ,
)
c c
U U I I
=
,
(2)
где
2/3
1
1
ˆ
c
c
I
J I
−
=
,
1
11 22 33
;
c
I
C C C
= + +
4/3
2
2
ˆ
c
c
I
J I
−
=
,
11 12
22 23
33 13
2
21 22
32
33
31 11
c
C C C C C C
I
C C C C C C
=
+
+
.
Исходя из функции удельной энергии
1 2
U U U
= +
,
определяем
тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа:
1
2
1
2
ˆ
ˆ
( ) 2
2
,
( )
( )
( )
( )
c
c
I
I
U
J p
α
α
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎜
⎟
=
=
+
+
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
S
C
C C C
(3)
где
1
( )
U p J
J
∂
=
∂
—
гидростатическое давление;
2
1 1 2
1
ˆ ˆ
( ,
)
;
ˆ
c c
c
U
I I
I
α
∂=
∂
2
2 1 2
2
ˆ ˆ
( ,
)
ˆ
c c
c
U
I I
I
α
∂=
∂
.
Входящие в соотношения упругости (3) производные инвариан-
тов тензора деформации вычисляем по следующим формулам [1]:
1
1 ( ) ;
( ) 2
J
J
−
∂ =
∂
C
C
(4)
2 / 3
1
1
2 / 3
1
1
ˆ
(
)
1 ( )
( ) ;
( )
( )
3
c
c
c
I
J I
J
I
−
−
−
∂ ∂
⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
I
C
C
C
(5)
4 / 3
2
2
4 / 3
1
1
2
ˆ
(
)
2
( ) ( )
( ) .
( )
( )
3
c
c
c
c
I
J I
J
I
I
−
−
−
∂
∂
⎛
⎞
=
=
− −
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
I C
C
C
C
(6)
При написании формул (4)—(6) учтена симметрия тензора ( )
C
.
В результате подстановки выражений для производных (4)—(6) в
соотношения упругости (3) последние получают вид
( ) ( ) ( );
p
d
= +
S S S
1
( )
( ) ;
p
p J
−
=
S
C
(7)
2 / 3
1
1
1
1
( ) 2
( )
( )
3
d
c
J
I
α
−
−
⎛
⎞
=
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
S
I
C
4 / 3
1
2
1
2
2
2
( ) ( )
( ) ,
3
c
c
J
I
I
α
−
−
⎛
⎞
+
− −
⎜
⎟
⎝
⎠
I C
C
(8)
где ( )
p
S
, ( )
d
S
—
части тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа,
связанные с энергией изменения объема и энергией изохорических
деформаций соответственно.