Гамильтониан
ˆ
H
электронного газа в атоме может быть предста-
влен в виде
ˆ
H
= ˆ
T
+ ˆ
V
+ ˆ
W,
где
ˆ
T
=
N
X
i
=1
−
1
2
~
r
i
2
,
ˆ
V
=
N
X
i
=1
V
(
~r
i
)
,
ˆ
W
=
N
X
i
=2
i
−
1
X
j
=1
W
(
~r
i
,
~r
j
)
—
операторы кинетической энергии, энергии взаимодействия с внешним
полем и энергии взаимодействия частиц между собой соответственно;
V
(
~r
i
)
=
−
Z
r
i
—
потенциал взаимодействия
i
-
го электрона с полем ядра;
Z
—
заряд ядра (
Z
= 1
,
2
,
3
, . . .
)
;
W
(
~r
i
,
~r
j
)
=
1
|
~r
i
−
~r
j
|
—
потенциал
взаимодействия электронов
i
и
j
.
В соответствии с обобщенной теоремой Хоэнберга – Кона мож-
но показать, что полная энергия основного состояния такой систе-
мы является однозначным функционалом плотности частиц
E
[
n
2
]
(
2
< N
).
Его минимум достигается на двухчастичной функции плот-
ности
n
2
(
~r
1
,
~r
2
)
,
отвечающей истинному распределению частиц и
связанной с нормированной на единицу волновой функцией следую-
щим соотношением:
n
2
(
~r
1
,
~r
2
)
=
=
N
(
N
−
1)
2
X
σ
Z
|
ψ
(
~r
1
,
σ
1
;
~r
2
,
σ
2
;
. . .
;
~r
N
,
σ
N
)
|
2
d
3
~r
3
. . .
d
3
~r
N
,
где
~r
i
и
σ
i
—
пространственные и спиновые координаты
i
-
го электрона.
Полную энергию основного состояния электронного газа в этом
случае целесообразно рассматривать как функционал двухчастичной
функции плотности [2]
E
0
=
E
[
n
2
]
=
T
[
n
2
]
+
1
N
−
1
Z
d
3
r
1
d
3
r
2
(
V
(
r
1
)
+
V
(
r
2
))
n
2
(
r
1
,
r
2
)
+
+
Z
d
3
r
1
d
3
r
2
W
(
r
1
,
r
2
)
n
2
(
r
1
,
r
2
)
,
где
Т
[
n
2
]
—
функционал кинетической энергии, для которого исполь-
зовано выражение [3]
T
[
n
2
]
=
Z
d
3
r
1
d
3
r
2
t
[
n
2
](
r
1
,
r
2
);
(1)
t
[
n
2
](
r
1
,
r
2
)
=
1
N
−
1
Sp
α
3
10
(18
π
4
)
1
/
3
(
C
(
p
d
))
−
4
/
3
n
4
/
3
2
(
r
1
,
r
2
)
+
168
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012