имея в своем распоряжении значение энергии основного состояния,
нельзя точно определить, к какому именно гамильтониану оно отно-
сится. Таким образом, отображение множества энергий на множество
гамильтонианов не является однозначным.
На практике чаще всего пользуются частным случаем, когда все
потенциалы на бесконечном удалении обращаются в нуль, т.е. по-
тенциальная энергия взаимодействия с внешним полем частиц, на-
ходящихся на бесконечном расстоянии от этого поля, обращается в
нуль
V
(
r
)
−−−−→
|
r
|→∞
0
,
и потенциальная энергия частиц, находящихся
друг от друга на бесконечном расстоянии, тоже обращается в нуль
W
(
r
1
,
r
2
)
−−−−−−→
|
r
1
−
r
2
|→∞
0
.
Подобные упрощения не скажутся на однознач-
ности отображения множества гамильтонианов на множество энергий
основного состояния, и оно также будет однозначно.
Установим, отразится ли это на однозначности обратного отобра-
жения. Покажем, что одно и то же значение энергии, соответствующее
энергии основного состояния
E
gs
,
может быть собственным значением
для гамильтонианов
H
и
H
0
,
которые отличаются более чем на кон-
станту, т.е
|
ψ
i 6
=
|
ψ
0
i
.
Также покажем, что из равенства
H
|
ψ
i
=
E
gs
|
ψ
i
и
H
0
|
ψ
0
i
=
E
0
gs
|
ψ
0
i
следует
|h
ψ
|
ψ
0
i|
<
1
для любого значения
ψ
,
со-
ответствующего гамильтонианам
H
и
H
0
.
Зная, что энергия основного состояния для данной системы, опи-
сываемая соотношением
E
=
h
ψ
|
H
|
ψ
i
,
всегда будет наименьшей из
всех возможных энергий, можно записать следующую систему нера-
венств:
E
=
h
ψ
|
H
|
ψ
i
<
h
ψ
0
|
H
|
ψ
0
i
;
E
=
h
ψ
0
|
H
0
|
ψ
0
i
<
h
ψ
|
H
0
|
ψ
i
.
(2)
Приведя систему (2) к виду
h
ψ
|
H
|
ψ
i − h
ψ
0
|
H
|
ψ
0
i
<
0;
h
ψ
0
|
H
0
|
ψ
0
i − h
ψ
|
H
0
|
ψ
i
<
0
(3)
и сложив правые и левые части неравенств (3), после очевидных ал-
гебраических преобразований получим выражение
h
ψ
|
H
−
H
0
|
ψ
i
+
h
ψ
0
|
H
0
−
H
|
ψ
0
i
<
0
,
которое можем переписать в виде
h
ψ
|
H
−
H
0
|
ψ
i
<
h
ψ
0
|
H
−
H
0
|
ψ
0
i
.
Величину
h
ψ
|
H
−
H
0
|
ψ
i
,
определяемую разностью гамильтониа-
нов
H
−
H
0
,
для системы, характеризующейся волновой функцией
ψ
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
127