тогда решение стационарной задачи должно быть записано в состав-
ном виде
 
u
s
>
0
,
|
x
|
< x
ф
,
u
s
= 0
,
|
x
|
> x
ф
.
Найдем условие, налагаемое на асимптотическое поведение функ-
ции источника
f
(
u
)
при
u
→
+0
,
которое необходимо для локализации
стационарного решения. Предположим, что для функции источника
справедливо асимптотическое представление
f
(
u
)
≈ −
γu
m
при
u
→
+0
,
где
m
=
const
>
0
.
Асимптотическое представление решения
u
s
(
x
)
при
|
x
| →
x
ф
−
0
удобно искать в виде степенной зависимости
u
s
≈
a
(
x
ф
− |
x
|
)
α
,
где
a
,
α
=
const
>
0
.
Непосредственно в уравнение (10) подставим
это асимптотическое представление:
a
kn
n
(
kα
)
n
(
kα
−
1) (
x
ф
− |
x
|
)
n
(
kα
−
1)
−
γa
m
(
x
ф
− |
x
|
)
αm
= 0
.
Отсюда находим выражение для величин
α
и
a
:
α
=
(
n
+ 1)
(
kn
−
m
)
,
a
=
γ
−
1
n
(
kα
)
n
(
kα
−
1)
1
(
m
−
kn
)
.
Таким образом, стационарное решение существует, если выпол-
нено условие (15), и оно оказывается пространственно локализован-
ным, если функция источника имеет асимптотическое представление
f
(
u
)
≈ −
γu
m
,
причем
m < kn
.
Наличие стационарного пространственно локализованного реше-
ния еще не означает, что оно может реализовываться как результат
эволюции начального распределения переносимой величины. Класс
начальных условий, для которых возможно
u
(
x, t
)
→
u
s
(
x
)
при
t
→ ∞
,
достаточно узок, как это следует из приведенного ниже утверждения.
Утверждение.
Пусть выполнены условия теоремы 2, накладыва-
емые на функцию источника I–III. Также пусть задача Коши имеет
локализованное стационарное решение
u
s
(
x
)
(
см. выше), причем на-
чальное условие
u
(
x,
0)
=
u
0
(
x
)
>
u
s
(
x
)
(
либо
u
0
(
x
)
6
u
s
(
x
))
,
x
2
R
.
Если найдется константа
ε
,
0
<
|
ε
|
<
∞
,
такая, что справедливо не-
равенство
u
0
(
x
)
>
u
s
(
x
+
ε
)
(
либо
u
0
(
x
)
6
u
s
(
x
+
ε
))
,
x
2
R
,
то
стационарное локализованное решение
u
s
(
x
)
не может быть пределом
эволюции решения
u
(
x, t
)
,
в том числе и при
t
→ ∞
.
Доказательство непосредственно следует из теоремы сравнения,
если учесть, что функция
u
s
(
x
+
ε
)
также является стационарным
102
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012