Из неравенства Гронуолла – Беллмана получаем оценки
+
∞
Z
−∞
U
i
(
x, t
)
dx
6
λM
1
exp (
M t
)
M
,
i
= 1
,
2
.
Следовательно,
+
∞
Z
−∞
U
i
(
x, t
)
dx
→
0
при
λ
→
0
,
i
= 1
,
2
.
При любом
λ>
0
выполняются неравенства (теорема 1)
u
1
(
x, t
)
>
>
u
λi
(
x, t
)
,
i
= 1
,
2
и
u
2
(
x, t
)
>
u
λ
2
(
x, t
)
.
Поэтому в силу непрерывно-
сти функций
u
i
(
x, t
)
2
C
(
Ω)
,
i
= 1
,
2
,
получим искомое утверждение
u
1
(
x, t
)
>
u
2
(
x, t
)
,
(
x, t
)
2
Ω
.
Замечание 1
.
В теоремах 1 и 2 предполагается ограниченность
решения
u
(
x, t
)
во всей полуплоскости
(
x, t
)
2
Ω
R
×
R
0
.
Если
для некоторого
T >
0
решение становится неограниченным при
t > T
,
то можно в качестве области определения рассматривать по-
лосу
Ω =
{
(
x, t
)
| |
x
|
<
∞
,
0
< t < T
}
.
Все утверждения при этом
остаются справедливыми.
Теоремы сравнения 1 и 2
позволяют эффективно исследовать каче-
ственные особенности эволюции начального распределения перено-
симой величины. Для примера рассмотрим возможность реализации
стационарных пространственно локализованных (имеющих ограничи-
тельный носитель, или
финитных
)
решений задачи Коши (1)–(5).
Стационарные пространственно локализованные решения задачи
Коши существуют, если функция источника удовлетворяет условию II)
теоремы 2. Эти решения могут реализовываться для всех
t >
0
при
специальном подборе начальных условий или как предел эволюции
решений задачи Коши при
t
→ ∞
.
Стационарное решение определяется из уравнения
d
dx
 
d
(
u
s
)
k
dx
d
(
u
s
)
k
dx
n
−
1
 
+
f
(
u
s
)
= 0
,
(10)
k
,
n
> 0,
f
(0)
= 0
,
u
s
(
x
)
>
0
,
x
2
R
.
Граничными для уравнения (10) являются условия
при
|
x
| → ∞
u
s
= 0
,
q
s
(
x
)
= 0
.
(11)
Не теряя общности, будем считать решения задачи (10) c гранич-
ными условиями (11) симметричными относительно плоскости
x
= 0
.
Тогда уравнение (10) сводится к виду
100
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012