I
∂
Ω
1
U
i
dx
+
I
∂
Ω
1
 
∂ u
k
i
∂x
∂ u
k
i
∂x
n
−
1
−
∂ u
k
λi
∂x
∂ u
k
λi
∂x
n
−
1
 
dt
+
+
λ
ZZ
Ω
1
u
λi
dxdt
+
ZZ
Ω
1
[
f
(
u
i
)
−
f
(
u
λi
)]
dxdt
= 0
.
(7)
Перейдем в соотношении (7) от двойного интеграла к повторному
с учетом граничных условий (4):
+
∞
Z
−∞
U
i
(
x, t
)
dx
−
t
Z
0
+
∞
Z
−∞
[
f
(
u
i
)
−
f
(
u
λi
)]
dxdt
−
−
λ
t
Z
0
+
∞
Z
−∞
u
λi
dxdt
= 0
,
i
= 1
,
2
.
(8)
При
0
< m <
1
,
условия I–III теоремы 2 позволяют определить
функцию
ˉ
f
(
z
)
=
f
(
z
)
+
Az
m
(
где
A >
0
—
некоторая постоянная)
такую, что
ˉ
f
(
z
)
2
Lip (
R
0
)
.
Тогда, учитывая, что функция
Az
m
моно-
тонно возрастающая при
m >
0
,
из равенства (8) получаем
+
∞
Z
−∞
U
i
(
x, t
)
dx
−
t
Z
0
+
∞
Z
−∞
ˉ
f
(
u
i
)
−
ˉ
f
(
u
λi
)
dxdt
−
−
λ
t
Z
0
+
∞
Z
−∞
u
λi
dxdt
6
0
,
i
= 1
,
2
.
(9)
Неравенство (9) будет справедливо и в случае
m
>
1
,
только надо
принять постоянную
A
= 0
,
т. е.
ˉ
f
(
z
)
=
f
(
z
)
.
Используем далее
произвольность выбора величины
t >
0
и определение функции
ˉ
f
(
z
)
,
тогда из неравенства (9) следует
+
∞
Z
−∞
U
i
(
x, t
)
dx
6
M
t
Z
0
+
∞
Z
−∞
U
i
(
x, ξ
)
dxdξ
−
λM
1
t, i
= 1
,
2
.
Здесь
M
=
const
>
0
,
M
1
= sup
t>
0
+
∞
R
0
u
λi
dx
(
см. условие (5)).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
99