кусочно-гладкая. Также предполагаем, что решение в классическом
смысле удовлетворяет уравнению (1) внутри носителя
(
x, t
)
2
ω
(
где
ω
= sup
p
(
u
(
x, t
))
\
l
)
и что решение вместе со своим пото-
ком непрерывно во всей области определения. В соответствии с
этими предположениями будем говорить, что
u
(
x, t
)
2
ˆ
H
(
Ω)
,
если
u
(
x, t
)
2
C
2
,
1
(
ω
)
∩
C
(
Ω)
и
q
(
x, t
)
2
C
(
Ω)
.
Функцию
u
(
x, t
)
2
ˆ
H
(
Ω)
назовем решением задачи Коши для
уравнения переноса вида (1), если выполнены:
начальные условия
u
(
x,
0)
=
u
0
(
x
)
,
x
2
R
,
(2)
где
u
0
(
x
)
2
C
(
R
)
,
u
0
(
x
)
>
0
,
+
∞
Z
−∞
u
0
(
x
)
dx
=
E
0
<
∞
;
(3)
граничные условия
при
|
x
| → ∞
u
(
x, t
)
= 0
и
q
(
x, t
)
= 0
для
t >
0;
(4)
условие ограниченности интеграла
+
∞
Z
−∞
u
(
x
)
dx <
∞
для
t >
0
.
(5)
Отметим, что потоковое условие в (4) является следствием приве-
денной формулировки задачи Коши. Однако если учесть это условие
заранее (так же, как и дифференциальные свойства решения), то это
существенно упростит проведение исследования.
Качественное исследование свойств обобщенных решений уравне-
ния (1) может быть основано на теоремах сравнения, которые являются
обобщением принципа максимума, сформулированного в теории урав-
нений математической физики для уравнений параболического типа.
На основании сказанного выше назовем функцию
θ
(
x, t
)
2
ˆ
H
(
Ω)
суперрешением уравнения (1), если выполняется неравенство
∂θ
∂t
>
∂
∂x
∂ θ
k
∂x
∂ θ
k
∂x
n
−
1
+
f
(
θ
)
.
(6)
Во многих случаях суперрешение
θ
(
x, t
)
удается построить в яв-
ном виде и затем использовать его для выяснения качественных осо-
бенностей решения, базируясь на теоремах сравнения по начальным
данным и функциям источника
f
(
u
)
.
С различными вариантами тео-
рем сравнения и методами доказательства можно ознакомиться в ра-
ботах [2–8]. Ниже приводится формулировка теоремы сравнения, объ-
единяющая различные ее варианты.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
97