Стр. 1 - А.С. Романов, А.В. Семиколенов, А.П. Шахорин - О роли функции источника при формулировке обобщенного принципа максимума для уравнения типа турбулентной фильтрации
Упрощенная HTML-версия
УДК 51.7+532.517
А. С. Р о м а н о в, А. В. С е м и к о л е н о в,
А. П. Ш а х о р и н
О РОЛИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА
ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ОБОБЩЕННОГО
ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТИПА ТУРБУЛЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Рассмотрены обобщения теоремы сравнения решений задачи Ко-
ши для уравнений типа турбулентной фильтрации по функциям
источника и начальным данным. На примере показана нетривиаль-
ность этих обобщений. Применение указанных методов облегчает
общие исследования решений дифференциальных уравнений пара-
болического типа, возникающих в теории пограничного слоя, при
описании сдвиговых течений степенных реологических жидкостей,
в теории лучистого теплопереноса и др.
E-mail:
,
,
Ключевые слова
:
дифференциальные уравнения параболического типа,
принцип максимума, пограничный слой, теория фильтрации, лучистый
перенос.
Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской
симметрии, имеет вид
∂u
∂t
=
−
∂q
∂x
+
f
(
u
)
,
q
=
−
∂u
∂x
k
∂u
∂x
n
−
1
,
(1)
f
(
u
)
2
C
(
R
0
)
,
f
(0)
= 0
,
R
0
=
x
2
R
|
x
>
0
,
(
x, t
)
2
Ω
R
×
R
0
.
Здесь
u
(
x, t
)
>
0
—
переносимая величина;
q
(
x, t
)
—
поток переноси-
мой величины;
k >
0
;
n >
0
—
константы, которые определяют интен-
сивность соответствующего процесса переноса;
Ω
—
область опреде-
ления.
Уравнения такого типа возникают в теории пограничного слоя, при
описании сдвиговых течений степенных реологических жидкостей, в
теории лучистого теплопереноса и др. Такие уравнения можно отне-
сти к параболическим уравнениям с вырождением. Их особенность
состоит в возможности вырождения, т. е. понижения порядка уравне-
ния при
u
(
x, t
)
→
0
и
∂u
∂x
→
0
.
При вырождении дифференциальные
свойства решения ухудшаются [1], а роль источника становится не-
тривиальной.
Назовем носителем решения
sup
p
(
u
(
x, t
))
замыкание множе-
ства пар
(
x, t
)
,
таких, что
u
(
x, t
)
>
0
.
Будем полагать, что множество
sup
p
(
u
(
x, t
))
односвязное, а граница носителя
l
=
∂
(
sup
p
(
u
(
x, t
)))
—
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
