формального определения понятий «причина» и «следствие», а так-
же вычисления меры причинной связи. Квантовый причинный анализ
оказался наиболее полезен при исследовании устойчивости запутан-
ности квантовых состояний под воздействием окружающей среды.
Вместе с тем в последнее время особое внимание уделяется томо-
графическому (вероятностному) представлению квантовой механики
[6—14].
Квантовая томография позволяет использовать для описания
состояния неотрицательные функции распределения вероятностей —
квантовые томограммы, поскольку можно проводить их эксперимен-
тальные измерения [13, 14]. С точки зрения причинного анализа осо-
бенно интересна возможность вычисления энтропий квантовых си-
стем на основе квантовых томограмм.
В общем случае получение томограммы квантового состояния, ко-
торое непосредственно связано с его измерением, приводит к измене-
нию исходного вида матрицы плотности (что объясняется коллапсом
вектора состояния в ходе измерения). Данная работа посвящена ис-
следованию связи между исходной причинностью, вычисляемой из
энтропий фон Неймана исходного состояния, и томографической при-
чинностью, вычисляемой по результатам эксперимента.
Квантовый причинный анализ.
Основная идея причинного ана-
лиза заключается в формализации интуитивного представления о на-
личии асимметрии между причиной и следствием, очевидного без из-
мерения запаздывания (которое в классическом случае является необ-
ходимым условием причинной связи).
Причинный анализ строится на понятии функций независимости,
записанных для некоторой двусоставной системы
AB
:
i
A
|
B
=
S
A
|
B
S
A
;
i
B
|
A
=
S
B
|
A
S
B
,
(1)
где
S
A
|
B
=
S
AB
−
S
B
,
S
B
|
A
=
S
AB
−
S
A
—
условные энтропии;
S
AB
,
S
A
и
S
B
—
безусловные энтропии фон Неймана для всей системы и
ее подсистем соответственно (вычисляются по матрицам плотности
ρ
X
согласно формуле
S
X
=
−
Tr[
ρ
X
log
2
ρ
X
]
).
Для квантовых состо-
яний
i
X
|
Y
2
[
−
1
,
1]
в отличие от классических систем, для которых
i
X
|
Y
2
[0
,
1]
(
используется шенноновское определение энтропии). Пре-
дельный случай
i
A
|
B
=
i
B
|
A
=
−
1
соответствует чистым запутанным
состояниям:
i
X
|
Y
= 0
означает максимальную классическую зависи-
мость
X
от
Y
(
X
является однозначной функцией от
Y
);
i
X
|
Y
= 1
означает независимость
X
от
Y
.
В общем случае
i
A
|
B
6
=
i
B
|
A
,
что
соответствует наличию причинной связи.
В качестве меры причинной связи используют величину, назван-
ную ходом времени, которую вводят как скорость необратимого потока
76
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012