Уравнение Кортевега – де Фриза – Бюргерса (неинтегрируемое в об-
щем случае) следует из (17) при
β
6
= 0
в одномерном случае:
u
t
+
uu
x
+
βu
xxx
=
μu
xx
.
(18)
Как видим, для вывода уравнений не приходится вводить проб-
ную малую функцию в квадратично-нелинейные уравнения, как это
сделано в [1].
Для волн на поверхности раздела между двумя жидкостями конеч-
ной толщины дисперсионное уравнение имеет вид [2]
ω
=
c
0
k
−
αk
|
k
|
,
подстановка которого в (9) приводит к следующему нелинейному эво-
люционному уравнению:
u
t
+
3
2
u
+
c
0
u
x
+
α
π
V P
+
∞
Z
−∞
u
xx
(
y, t
)
dy
x
−
y
= 0
.
(19)
Уравнение (19) — уравнение Бенджамина – Оно [2], а интегральное
преобразование с множителем
1
/
π
—
преобразование Гильберта. Та-
ким образом, из уравнений (16) и (19) (а также уравнения системы
(12)
с учетом затухания Ландау, которое для линейных волн
|
k
|
[1])
можно сделать вывод о том, что нечетно продолженные слагаемые
четных порядков в дисперсионных уравнениях порождают нелокаль-
ные слагаемые в дисперсионных уравнениях, выражающиеся через
нелокальные сингулярные преобразования Гильберта.
Одним из традиционных способов вывода уравнений простых
и квазипростых волн в нелинейной теории волн является введе-
ние “пробной” функции возмущения (возмущение раскладывают на
основное и “пробное”, много меньшее основного) с последующим
разложением уравнений в ряд по “пробной” функции возмущения.
Такой подход обладает, однако, рядом недостатков: неясность физи-
ческого толкования компонент получаемых уравнений и громоздкость
вычислений, а в случае нелокальных уравнений типа (16) и (19) метод
“
пробной” функции становится непригоден. В дополнение к этому: за-
частую вызывает трудности вывод многомерных уравнений эволюции
возмущений, в том числе цилиндрической и сферической симметрии.
Предложенный способ лишен перечисленных недостатков, однако
применим лишь для систем, приводимых к форме уравнений типа (2).
Последнее продемонстрировано на примерах, связанных с нелиней-
ными ионно-звуковыми волнами в плазме, в том числе находящейся
в сильном магнитном поле; для нелинейных возмущений поверхно-
сти неглубокой жидкости, в том числе с заряженной поверхностью.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
27