Фурье-образ
b
C
0
вычисляют разложением уравнения (14) в ряд
b
C
0
=
c
0
−
β
k
2
+
O
|
k
|
3
e
u
;
c
0
=
√
gh, β
=
c
0
h
2
2
1
3
−
γ
ρgh
2
.
(15)
Оператор
b
C
0
является псевдодифференциальным, а фурье-образ
b
C
0
представляет собой бесконечный степенной ряд по
|
k
|
.
Однако
в приближении Буссинеска дисперсионные слагаемые выше третьего
порядка не рассматриваются.
Эволюционное уравнение (9) с учетом (15) обобщает уравне-
ние КдФ
u
t
+
3
2
(
u
r
)
u +
c
0
e
u
r
u +
β
e
u
r
3
u = 0
.
В случае, когда на поверхности проводящей жидкости малой глу-
бины индуцирован заряд [4], уравнение (9) становится нелокальным:
u
t
+
3
2
u
+
c
0
u
x
+
βu
xxx
+
α
π
V P
+
∞
Z
−∞
u
xx
(
y, t
)
dy
x
−
y
= 0;
α
=
2
πσ
2
c
0
ρg
,
β
=
c
0
6
h
2
−
3
γ
ρg
+
12
π
2
σ
4
ρ
2
g
2
,
(16)
где введена поверхностная плотность индуцированного заряда
σ
.
Другие примеры.
В случае среды со слабой диссипацией и дис-
персией волн из линейного приближения следует дисперсионное со-
отношение
ω
=
c
0
k
−
iμk
2
−
βk
3
.
Принимая его, находим уравнение для простой волны (в случае
диссипативных сред такие волны называются квазипростыми, так как
возмущение со временем исчезает вовсе)
u
t
+ (3
/
2)
u
r
+ e
u
c
0
r −
μ
Δ +
β
r
3
u = 0
.
(17)
Для одномерных волн при
β
= 0
и после замены переменных
уравнение (17) переходит в интегрируемое уравнение Бюргерса [1, 6]
u
t
+
uu
x
=
μu
xx
.
Коэффициент затухания
μ
находят из соответствующей линейной
задачи: например, для волн на поверхности неглубокой жидкости
μ
равно кинематической вязкости, а для звуковых волн
μ
определяется
коэффициентами первой и второй вязкости, а также изобарной, изо-
хорной теплоемкостями и теплопроводностью.
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012