Ионно-звуковые волны в плазме.
При рассмотрении ионно-
звуковых волн в плазме используют так называемое гидродинамиче-
ское “двухжидкостное” представление, откуда получаются следующие
уравнения [1]:
u
t
+ (u
r
)
u =
−
e
m
r
ϕ
;
Δ
ϕ
= 4
πe
[
n
0
exp (
eϕ/T
)
−
n
] ;
n
t
+
r
(
n
u) = 0
,
(10)
где
T
—
электронная температура (постоянная Больцмана принята рав-
ной единице);
e
—
заряд электрона;
ϕ
—
потенциал электрического по-
ля;
u
,
n, m
—
скорость, концентрация и масса ионов;
n
0
—
равновес-
ная концентрация электронов. Второе уравнение системы (10) через
концентрацию ионов определяет поле потенциала и, таким образом,
приводит к дисперсионным эффектам в правой части первого уравне-
ния системы (10).
Дисперсионные эффекты в приближении Буссинеска линейны, по-
этому решение линеаризованного второго уравнения системы (10)
можно записать в операторном виде
ϕ
=
T
e
1
−
D
2
Δ
−
1
n
−
n
0
n
0
,
n
−
n
0
n
0
,
(11)
где введен дебаевский радиус
D
=
p
T/
4
πn
0
e
2
,
а отклонение концен-
трации от равновесного значения предполагается малым. Если обозна-
чить
η
=
n/n
0
,
то получаем систему уравнений типа (2) с оператором
давления
b
P
u
t
+ (u
r
)
u =
−r
b
Pη
;
η
t
+
r
(
η
u) = 0;
b
P
=
T
m
1
−
D
2
Δ
−
1
)
b
P
=
T
m
1
+
D
2
k
2
−
1
.
(12)
Из фурье-образа оператора
b
P
,
определяемого формулой (8), сле-
дует известное дисперсионное соотношение для ионно-звуковых волн
в плазме [1]
ω
=
p
T/m
∙
k
1
+
D
2
k
2
−
1
/
2
.
Для оператора скорости справедливо
b
C
0
= e
u
c
0
1
−
D
2
Δ
−
1
/
2
≈
e
u
c
0
1
+
1
2
D
2
Δ
,
где введена скорость возмущений
c
0
=
p
T/m
.
Отсюда следует урав-
24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012