ствие возмущения
b
C
2
0
=
η
b
P
η
=1
)
b
C
0
=
±
e
u
d
√
P ,
а вектор
e
u
представляет собой орт в направлении скорости волны
u
,
так как очевидно, что наибольшее значение квадрата скорости в каж-
дой точке, согласно (4), достигается в направлении скорости распро-
странения волнового возмущения. Как видно, оператор
b
C
0
отражает
линейные дисперсионные эффекты.
С учетом (6) для простой волны, распространяющейся в положи-
тельном направлении, справедливо векторное операторное уравнение
u
t
+ (3
/
2)
u
r
+
d
√
P
|
u
|
−
1
u
r
u = 0
.
(7)
При выводе уравнения (7) использовано только предположение о
линейности оператора
b
P
без уточнения его природы. Поэтому пред-
ложенный способ вывода уравнений простых волн универсален: при
известном виде оператора
b
P
сразу можно построить уравнение про-
стой волны (7).
В общем случае фурье-образ
c
P
оператора
b
P
связан с дисперсион-
ным соотношением
ω
(
k)
.
Линеаризация системы (3) и последующая
подстановка линейного решения вида
exp [
i
(
ωt
−
kr)]
приводят к за-
ключению о том, что
c
P
= (
ω
(
k)
/
|
k
|
)
2
.
(8)
Оператор
d
√
P
следует понимать в том смысле, что
d
√
P
d
√
P
=
b
P
.
Таким образом, закон линейной дисперсии
ω
(
k)
однозначно опреде-
ляет искомый оператор
b
P
,
а фурье-образ оператора
b
C
0
совпадает с
зависимостью фазовой скорости от волнового числа.
Искомые векторные операторные уравнения простых волн (эволю-
ционные уравнения волн) имеют вид
u
t
+ (3
/
2)
u
r
+
b
C
0
r
u = 0
,
b
C
0
= e
u
ω
(
|
k
|
)
/
|
k
|
,
e
u
= u
|
u
|
−
1
.
(9)
Таким образом, при поиске уравнений простых волн достаточно
установить вид квадратично-нелинейных слагаемых в системе (2).
Дисперсионные слагаемые находят из зависимости
ω
(
k)
для линей-
ных волн. Уравнение, описывающее распространение волн как в по-
ложительном, так и отрицательном направлениях, согласно (9), имеет
вид (с точностью до квадратично-нелинейных слагаемых)
u
tt
−
b
C
2
0
Δ +
3
2
u
b
C
0
Δ +
b
C
0
r
(
u
r
)
u = 0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
23