dp
dε
=
−
[
Θ
T
22
(
a, p, T
)
Θ
12
(
a, p, T
)
+
pp
T
]
−
1
Θ
T
22
(
a, p, T
)
Π(
a, p, T
)
y
(
a, p, T
;
a
0
)
,
(15)
в котором обращаемая матрица симметрична.
Таким образом, решение задачи (14) при
ε
= 1
может быть вы-
числено при помощи несимметричной схемы (16), либо при помощи
симметричной схемы продолжения с матрицей (18). Условием приме-
нимости той или иной схемы является обращаемость матриц в урав-
нениях.
При численном решении задачи Коши (16) происходит накопле-
ние вычислительной погрешности, устранение которой может быть
выполнено по схеме уточнения с использованием метода Ньютона.
Следить за возникающей погрешностью можно, вычисляя в ходе про-
цесса невязку
R
(
ε
)
=
x a
(
ε
)
,
p
(
ε
)
,
T
(
ε
)
.
Если невязка
R
(
ε
)
превы-
шает некоторое значение
R
0
>
0,
то приближенное решение
p
(
ε
)
,
T
(
ε
)
уточняется при фиксированном
ε
.
Параметр
R
0
выбираем так, чтобы
уточняющий процесс сходился.
Рассмотрим дискретную схему продолжения для краевой зада-
чи (2).
Пусть отрезок
[
ˉ
a, a
]
не содержит 0. Разобьем этот отрезок на
N
равных частей точками
a
i
= ˉ
a
+
i/N
∙
a
0
,
i
= 0
,
1
, . . . ,
N
;
a
0
≡
a
−
ˉ
a
6
= 0
.
Соседние точки этого разбиения связаны зависимостью
a
i
+1
=
a
i
+
+ Δ
εa
0
,
Δ
ε
= 1
/
N
;
здесь
Δ
ε
—
введенный искусственно малый пара-
метр. Предполагаем, что для точки
a
0
≡
ˉ
a
известно решение
ˉ
T
=
T
0
,
ˉ
p
=
p
0
.
Далее производится последовательное вычисление прибли-
женного решения при переходе от точки
a
i
к точке
a
i
+1
на основе
метода возмущений:
p
i
+1
=
(
p
i
+ Δ
ε
∙
Δ
p
i
)
k
p
i
+ Δ
ε
∙
Δ
p
i
k
,
T
i
+1
=
T
i
+ Δ
ε
∙
Δ
T
i
,
i
= 0
,
1
, . . . ,
N
−
1
.
После выполнения
N
шагов будет построено приближенное реше-
ние
p
N
,
T
N
для точки
a
N
≡
a
,
причем
k
x
(
a
N
,
p
N
,
T
N
)
k
=
O
(1
/
N
)
.
По-
лученное приближенное решение
p
N
,
T
N
задачи (2) уточняется мето-
дом Ньютона. Процедура уточнения может применяться и для проме-
жуточных точек
a
i
в зависимости от величины невязки
k
x
(
a
i
,
p
i
,
T
i
)
k
.
В задаче о быстрейшей остановке вращений твердого тела во-
круг неподвижной точки при помощи трех двигателей в случае, когда
c
1
=
−
1
/
5
,
c
2
= 2
/
3
,
c
3
=
−
1
/
2
,
x
(0)
= (1
,
1
,
1)
T
,
область управления
представляет собой эллипсоид
U
=
{
u
2
1
+
u
2
2
+
u
2
3
6
1
}
,
при расчетах
на ЭВМ было получено: оптимальное время
T
on
= 1
,
732051
,
погреш-
ность
D
=
k
x
(
a, p
on
,
T
on
)
k
= 0
,
64227
∙
10
−
11
.
При этом малый параметр
ε
= 1
/
100
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
217