На многообразии бесконечных джетов
J
∞
(
π
)
имеется
n
-
мерное
интегрируемое распределение
C
,
задаваемое полями
D
i
=
∂
∂x
i
+
X
j,σ
p
j
σi
∂
∂p
j
σ
,
i
= 1
, . . . ,
n.
Это распределение, называемое распределением Картана, допуска-
ет ограничение
ˉ
C
на бесконечно продолженное уравнение
E
∞
J
∞
(
π
)
.
Многообразия вида
s
u
,
где
u
= (
u
1
, . . . ,
u
m
)
—
решение системы, явля-
ются максимальными интегральными многообразиями распределения
ˉ
C
.
Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциальное
уравнение — это бесконечномерное многообразие вида
E
∞
,
снабжен-
ное
n
-
мерным интегрируемым распределением, а его решения — это
n
-
мерные интегральные многообразия данного распределения.
Локальные симметрии и законы сохранения.
Одним из ключе-
вых понятий алгебро-геометрической теории дифференциальных
уравнений является понятие высшей инфинитезимальной симметрии
(
А.М. Виноградов, 1975), которое обобщает понятие классической
(
лиевской) симметрии. Если под симметриями уравнения
E
понимать
преобразования (конечные или инфинитизимальные) бесконечно про-
долженного уравнения
E
∞
,
которые сохраняют распределение Картана
на
E
∞
,
то оказывается, что высшие инфинитезимальные симметрии
являются классами когомологий некоторого естественного дифферен-
циального комплекса на бесконечно продолженном уравнении
E
∞
.
Такая трактовка понятия симметрии привела к созданию эффективно-
го алгоритма вычисления алгебры симметрий конкретных уравнений.
В рамках данной теории высшая инфинитезимальная симметрия ото-
ждествляется с эволюционным дифференцированием
ˉ
Э
ϕ
=
X
j,σ
ˉ
D
σ
(
ϕ
j
)
∂
∂p
j
σ
,
которое однозначно определяется своей производящей функцией
ϕ
= (
ϕ
1
, . . . ,
ϕ
m
)
,
ϕ
i
2
C
∞
(
J
∞
(
π
))
.
Для вычисления алгебры сим-
метрий уравнения
E
:
F
= 0
надо решить систему уравнений
ˉ
l
F
(
ϕ
)
= 0
,
(1)
где
ˉ
l
F
—
оператор универсальной линеаризации, отвечающий функ-
ции
F
,
ˉ
l
F
(
ϕ
)
= ˉ
Э
ϕ
(
F
)
,
черта обозначает ограничение оператора на
бесконечно продолженное уравнение
E
∞
.
В рамках алгебро-геометрической теории дифференциальных
уравнений сохраняющиеся токи интерпретируются как замкнутые
горизонтальные
(
n
−
1)
-
формы на бесконечно продолженном уравне-
нии
E
∞
,
а законы сохранения как элементы
(
n
−
1)
-
мерной группы
206
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012