УДК 514.7
Н. Г. Х о р ь к о в а
НЕЛОКАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ
АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Изложены основы теории накрытий дифференциальных уравнений,
в рамках которой оказывается возможным корректное описание
различных нелокальных явлений.
E-mail:
nkhorkova@diffiety.ac.ru
,
ninakhorkova@yandex.ru
Ключевые слова
:
системы дифференциальных уравнений в частных про-
изводных, локальные симметрии и законы сохранения, оператор рекур-
сии, накрытия, нелокальные симметрии.
Дифференциальные уравнения и их решения.
Пусть
E
—
си-
стема дифференциальных уравнений в частных производных (далее
“
дифференциальное уравнение” или просто “уравнение”) в вектор-
ном расслоении
π
:
E
n
+
m
→
M
n
.
В рамках алгебро-геометрической
теории любое дифференциальное уравнение рассматривается как под-
многообразие пространства джетов
k
-
го порядка
J
k
(
π
)
расслоения
π
,
где
k
—
максимальный порядок уравнений, входящих в систему,
n
—
число независимых переменных, а
m
—
неизвестных функций (за-
висимых переменных). Предполагается, что локально это подмного-
образие задается системой уравнений
F
= 0
,
где
F
= (
F
1
, . . . ,
F
r
)
,
F
i
2
C
∞
(
J
k
(
π
))
.
Очевидно, что каждая вектор-функция, являющаяся решением
рассматриваемой системы, будет удовлетворять также любому урав-
нению, получающемуся дифференцированием уравнений исходной
системы. Поэтому естественно ввести в рассмотрение бесконечно
продолженное уравнение
E
∞
J
∞
(
π
)
,
которое задается системой
D
σ
F
= 0
,
состоящей из дифференциальных следствий уравнений
исходной системы
F
= 0
.
Каждое решение,
u
= (
u
1
, . . . ,
u
m
)
,
u
j
2
C
∞
(
M
n
)
,
системы диф-
ференциальных уравнений определяет
n
-
мерное подмногообразие
s
u
пространства
J
∞
(
π
)
,
которое в канонических координатах (
x
i
,
p
j
σ
)
про-
странства бесконечных джетов задается уравнениями
p
j
σ
=
∂
|
σ
|
u
j
∂x
σ
.
Если вектор-функция
u
является решением рассматриваемой си-
стемы дифференциальных уравнений, то
s
u
E
∞
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
205