Применив к уравнению (3) и граничным условиям из (4) конечно-
элементную процедуру в форме метода Бубнова–Галеркина, получим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
ρc
ε
t
T
t
Z
0
exp
−
t
−
t
0
t
T
∂
∂t
0
[
C
]
{
T
}
dt
0
+ [
K
]
{
T
}
=
{
F
}
,
где
[
C
]
,
[
K
]
—
матрицы, характеризующие теплоемкость и теплопро-
водность исследуемого тела;
{
T
}
—
вектор неизвестных узловых зна-
чений температуры;
{
F
}
—
вектор тепловой нагрузки. Составляющие
F
p
вектора
{
F
}
и компоненты
C
pq
,
K
pq
матриц
[
C
]
,
[
K
]
определяются
следующими соотношениями:
F
p
=
q
S
(
t
)
δ
p
1
,
C
pq
=
E
X
e
=1
Z
V
(
e
)
ρc
A
44
  Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
N
q
(
x
0
)
dx
0
 
N
p
(
x
)
dx,
K
pq
=
E
X
e
=1
Z
V
(
e
)
λ
(
T
)
  Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
Z
V
ϕ
(
|
x
00
−
x
0
|
)
dN
q
(
x
00
)
dx
00
dx
00
dx
0
 
×
×
dN
p
(
x
)
dx
dx,
где
E
—
количество конечных элементов;
V
(
e
)
—
объем конечного эле-
мента;
N
p
,
N
q
—
зависящие от координаты
x
одномерные квадратич-
ные функции формы;
p
,
q
—
номера узлов сетки,
p, q
= 1
,
n
.
Значения температуры в узлах расчетной сетки конечных элемен-
тов в
(
k
+ 1)
-
й момент времени могут быть получены из решения
системы алгебраических уравнений при аппроксимации двухслойной
разностной схемой:
Δ
t
k
K
k
+1
+ 1
−
exp
−
Δ
t
k
t
T
C
k
+1
T
k
+1
=
=
{
F
}
Δ
t
k
+ 1
−
exp
−
Δ
t
k
t
T
C
k
+1
T
k
+
+ exp
−
t
k
+1
t
T
Δ
t
k
k
−
1
X
n
=1
exp
t
n
+1
t
T
−
exp
t
n
t
T
C
n
+1
n
˙
T
n
o
,
где
Δ
t
(
k
)
=
t
k
+1
−
t
k
—
шаг по времени.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
177