dy
α,β
i
dt
+
3
X
ψ
=1
Z
S
α
ψ
F
i
(
~y
α
,
~y
η
(
α,ψ
)
)
ϕ
α,β
dS
−
Z
V
α
F
j,i
∂ϕ
α,β
∂x
j
dV
= 0
,
α
= 1
,
N
T
,
β
= 1
,
N
b
,
i
= 1
,
8
,
(5)
где
ψ
—
номер ребра
α
-
й ячейки,
η
(
α, ψ
)
—
номер соседней с ней ячей-
ки,
~F
(
~y
α
,
~y
η
(
α,ψ
)
)
—
численный поток, зависящий от значений реше-
ния в ячейках, примыкающих к ребру
ψ
,
и определяемый из решения
соответствующей задачи Римана о распаде разрыва [3].
Система (5) дополняется начальным условием вида
~y
α,β
(0)
=
Z
V
α
~u
0
ϕ
α,β
dV,
(6)
где
~u
0
(
x
1
,
x
2
)
—
начальное распределение консервативных перемен-
ных.
Интегралы по поверхностям
S
α
ψ
и по объему
V
α
в рассматриваемом
двумерном случае сводятся к интегралам по ребрам
P
α
ψ
и треугольнику
K
α
соответственно.
Для приближенного решения задачи Римана для системы уравне-
ний магнитной гидродинамики используется ряд методов с выделе-
нием разрывов, такие как HLL, HLLC, HLLD [1, 4]. Метод HLLD
позволяет получить наилучшее разрешение разрывов, но во многих
случаях приводит к возникновению численной немонотонности в ре-
шении. В этих случаях используется более диссипативный численный
поток HLL. При расчете интегралы заменяются квадратурными фор-
мулами, точность которых согласована с порядком метода
m
.
Реше-
ние задачи Коши (5)—(6) производится численным интегрированием
явным методом Рунге — Кутты, шаг по времени
τ
определяется дина-
мически на основании условия устойчивости Куранта — Фридрихса —
Леви:
max
i
|
λ
i
|
τ
h
min
≤
1
,
где
h
min
—
длина наименьшего ребра ячейки
в сетке,
λ
i
—
собственные числа системы (1) на предыдущем шаге по
времени. Разрывный метод Галеркина 1 порядка совпадает с соответ-
ствующими методами типа Годунова [1].
Для аппроксимации граничных условий используется метод фик-
тивной ячейки.
Монотонизация решения.
Решение уравнений МГД разрывным
методом Галеркина второго порядка точности требует использова-
ния функций-ограничителей наклона решения в ячейке — лимите-
ров [2, 3] — как для поддержания монотонности решения, так и для
предотвращения появления на очередном временном слое отрицатель-
ных значений плотности и давления.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
101