вторяющимся индексам)
∂u
i
∂t
+
∂F
j,i
∂x
j
= 0
,
(3)
на треугольной сетке используем разрывный метод Галеркина [2].
Применим стандартную схему методов галеркинского типа — умно-
жим правую и левую части (1) на произвольную скалярную функцию
ω
(
x
)
,
проинтегрируем по объему
V
Δ
,
применим правило интегриро-
вания по частям и получим:
Z
V
Δ
∂u
i
∂t
ω dV
+
Z
S
Δ
F
j,i
n
j
ω dS
−
Z
V
Δ
F
j,i
∂ω
∂x
j
dV
= 0
,
(4)
где
n
—
единичный вектор внешней нормали к поверхности
S
Δ
=
∂V
Δ
.
Рассмотрим двумерную область
D
и соответствующую ей трехмер-
ную область
D
=
D
×
R
.
Введем в области
D
сетку
Ω
h
,
состоящую
из системы
N
T
треугольников
{
K
i
}
N
T
i
=1
.
В качестве объема
V
Δ
рассмо-
трим единичную треугольную призму с сечением
K
l
.
Тогда второй
интеграл в (4) можно преобразовать к виду [3]
Z
S
Δ
n
j
F
j,i
(
. . . ,
u
i
, . . .
)
ω dS
=
=
3
X
k
=1
Z
S
l
k
T
−
1
k,ij
(
n
k
)
F
j
(
. . . ,
T
k,ij
(
n
k
)
u
j
, . . .
)
ω dS,
где
S
l
k
—
поверхность
k
-
ой боковой грани призмы
V
Δ
,
T
k
—
матрица,
осуществляющая поворот векторов
v
и
B
на угол между нормалью
n
k
и положительным направлением оси
x
1
,
a
~F
—
вектор, описывающий
поток консервативных переменных через поверхность
S
k
.
Будем искать решение в виде
~u
=
N
T
X
α
=1
N
b
X
β
=1
~y
α,β
(
t
)
ϕ
α,β
(
x
1
,
x
2
)
,
где
N
b
—
зависящее от порядка аппроксимации число базисных функ-
ций, определенных в ячейке
K
α
;
{
ϕ
α,β
(
x
1
,
x
2
)
}
N
b
β
=1
—
ортонормирован-
ная система базисных функций (полиномов степени ниже
m
),
опреде-
ленных в
α
-
й ячейке;
~y
α,β
(
t
)
—
вектор коэффициентов при базисных
функциях. В качестве пробных функций
ω
выберем те же базисные
функции
ϕ
α,β
.
Тогда приходим к системе обыкновенных дифференци-
альных уравнений разрывного метода Галеркина порядка
m
100
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012