В качестве начального условия для системы (1) принимается ре-
шение уравнений равновесия провода в поле силы тяжести, получа-
ющихся из уравнений (1) исключением аэродинамических нагрузок
и слагаемых, содержащих производные по времени. Решение может
быть получено аналитически, но затем должно быть упрощено с уче-
том принятого допущения о длине пролета. Кроме того заметим, что
для реальных проводов безразмерная жесткость на растяжение
α
—
величина порядка
10
4
,
а стрела провеса
w
s
=
x
30
(0)
—
величина по-
рядка
10
−
2
.
Тогда приближенная равновесная форма провода может
быть представлена как
x
10
(
ξ
)
= cos
β
∙
ξ, x
20
(
ξ
)
≡
0
,
x
30
(
ξ
)
= sin
β
∙
ξ
+
w
s
(1
−
4
ξ
2
)
,
Q
0
(
ξ
)
= (8
w
s
)
−
1
.
(3)
Численное решение уравнений движения провода.
Предполо-
жим, что
Q
(
ξ, τ
)
—
величина одного порядка с
Q
0
(
ξ
)
,
тогда можно
принять
(1
+
Q
(
ξ, τ
)
/
α
)
q
a
i
(
ξ, τ
)
≈
q
a
i
(
ξ, τ
)
,
т. к.
Q
0
(
ξ
)
/
α
1
.
Если
Q
(
ξ
)
,
x
i
(
ξ
)
,
i
= 1
,
2
,
3
—
решение системы (1)–(3) в мо-
мент времени
τ
,
ее решение в течение малого временн´ого шага
[
τ
;
τ
+ Δ
τ
]
может быть записано как
Q
(
ξ
)
+ Δ
Q
(
ξ, τ
)
,
x
i
(
ξ
)
+
+ Δ
x
i
(
ξ, τ
)
,
i
= 1
,
2
,
3
;
изменения координат
Δ
x
i
(
ξ, τ
)
,
i
= 1
,
2
,
3
,
и
изменение тяжения провода
Δ
Q
(
ξ, τ
)
,
а также их производные по
ξ
,
полагаются малыми, тогда, пренебрегая слагаемыми второго порядка
малости, приводим систему (1) к виду
Q
1
+
Q /α
x
0
i
0
+
Q
1
+
Q /α
Δ
x
0
i
+
Δ
Q
(1
+
Q /α
)
2
x
0
i
0
+
+
q
a
i
+
δ
i
3
−
Δ¨
x
i
= 0
,
i
= 1
,
2
,
3
,
Δ
x
0
1
x
0
1
+ Δ
x
0
2
x
0
2
+ Δ
x
0
3
x
0
3
= 1 +
Q
α
Δ
Q
α
.
(4)
Пространственная и временн´ая производные обозначены штрихом и
точкой соответственно.
Согласно последнему уравнению системы (4), изменение тяжения
явно выражается через изменения координат, поэтому его можно под-
ставить в первые три уравнения и получить в итоге линейную си-
стему из трех уравнений относительно трех неизвестных функций
Δ
x
1
,
Δ
x
2
,
Δ
x
3
Q
1
+
Q /α
x
0
i
0
+
+
Q
1
+
Q /α
Δ
x
0
i
+
α
Δ
x
0
1
x
0
1
+ Δ
x
0
2
x
0
2
+ Δ
x
0
3
x
0
3
(1
+
Q /α
)
3
x
0
i
0
+
+
q
a
i
+
δ
i
3
−
Δ¨
x
i
= 0
,
i
= 1
,
2
,
3
(5)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
69