учетом формул (4) и (7) следует
A
2
α
2
−
4
α
3
−
B
2
+
α
R
3
ε , A
1
−
2
α
+
2
α
2
+
B ε
R
3
=
A
2
+
B
2
R
3
,
(10)
где
α
=
α
ˉ
R
и
ε
= exp(
−
α
)
.
Наконец, из подобных условий при
r
=
R
2
и соотношений (2) и (4) получим
A
2
−
2
B
2
/
R
3
2
=
e
λ
(
G
−
2
B/R
3
2
)
и
A
2
+
B
2
/
R
3
2
=
G
+
B/R
3
2
,
(11)
где
e
λ
=
λ/λ
2
.
Последовательным исключением из равенств (8). . . (11) неизвест-
ных коэффициентов можно получить выражение для коэффициента
B
,
которое является весьма громоздким. Из условия
B
= 0
следует
e
λ
=
λ
λ
2
=
α
(
P
1
ˉ
λ
−
P
2
(
α
−
1))
+ ˉ
R
3
(2
P
1
ˉ
λ
(3
+
α
)
+
P
2
P
3
)
C
V
α
(
P
1
ˉ
λ
−
P
2
(
α
−
1))
−
ˉ
R
3
(2
P
1
ˉ
λ
(3
+
α
)
+
P
2
P
3
)
C
V
/
2
,
(12)
где
P
1
= 4
α
−
α
2
−
6
+ (
R
0
/
R
1
)
3
α
(
α
−
1)
,
P
2
= 6 + 2
α
+
α
(
R
0
/
R
1
)
3
и
P
3
=
α
2
−
4
α
+ 6
.
Формула (12) сохраняет смысл при условии
C
V
6
C
V
= (
R
1
/
R
)
3
,
поскольку при
C
V
=
C
V
в составной частице
уже отсутствует шаровой слой матрицы. В частном случае отсутствия
промежуточного слоя (
ˉ
R
3
= 1
)
равенство (12) при
R
0
= 0
путем пре-
дельного перехода при
α
→ ∞
можно привести к известной формуле
Максвелла [3]
e
λ
=
2
+ ˉ
λ
−
2(1
−
ˉ
λ
)
C
V
2
+ ˉ
λ
+ (1
−
ˉ
λ
)
C
V
,
полученной на основе более простой двухфазной модели, состоящей
из включения в виде сплошного шара и окружающего его материала
матрицы.
Для оценки возможной погрешности формулы (12) используем
двойственную вариационную формулировку задачи стационарной те-
плопроводности [5, 6], позволяющую получить двусторонние оцен-
ки эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого
композита. Область
V
,
содержащую представительный элемент в виде
половины составной частицы радиусом
R
2
,
выберем в виде прямого
цилиндра с достаточно большой площадью
S
0
параллельных основа-
ний, одно из которых соответствует в сферических координатах зна-
чению
θ
=
π/
2
,
а точки второй имеют координаты
r
cos
θ
=
H
,
т.е.
высота цилиндра равна
H
,
причем
H R
2
.
Боковую поверхность
цилиндра примем идеально теплоизолированной, температуру осно-
вания при
θ
=
π/
2
положим равной нулю, а на втором основании
зададим температуру
GH
.
Однородный материал в части области вне
составной частицы имеет коэффициент теплопроводности
λ
.
Таким
образом, в неоднородной цилиндрической области объемом
V
0
=
HS
0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
99