второго порядка относительно неизвестной функции
f
(
r
)
(
штрих озна-
чает производную по
r
).
Непрерывное изменение коэффициента теплопроводности проме-
жуточного слоя представим зависимостью
λ
(
r
)
=
λ
exp(
ar
)
,
удо-
влетворяющую условиям
λ
1
=
λ
exp(
aR
1
)
и
λ
2
=
λ
exp(
aR
)
,
из
которых следует
aR
1
=
−
(
ln ˉ
λ
)
/
(
ˉ
R
−
1)
и
λ
=
λ
1
exp(
aR
1
)
,
где
ˉ
λ
=
λ
1
/
λ
2
и
ˉ
R
=
R /R
1
.
Тогда ОДУ (6) можно представить в виде
(
f
0
+(
a
+2
/
r
)
f
)
0
= 0
и после интегрирования получить ОДУ
f
0
+(
a
+
+ 2
/
r
)
f
=
A
= const
первого порядка, решением которого будет [4]
f
(
r
)
=
B
+
A
Z
e
F
(
r
)
dr e
−
F
(
r
)
,
F
(
r
)
=
Z
(
a
+2
/
r
)
dr
=
ar
+2 ln
r,
где
B
= const
.
Если учесть, что
Z
e
F
(
r
)
dx
=
Z
r
2
e
ar
dr
=
r
2
a
−
2
r
a
2
+
2
a
3
e
ar
,
то в итоге распределение температуры в промежуточном слое примет
вид
T
(
r, θ
)
= (
A /a
)(1
−
2
/
(
ar
)
+ 2
/
(
ar
)
2
)
cos
θ
+ (
B /r
2
)
e
−
ar
cos
θ.
(7)
В равенства (2). . . (4) и (7) входят 7 неизвестных коэффициентов
B
,
A
1
,
B
1
,
A
2
,
B
2
,
A
и
B
,
которые необходимо найти из граничных
условий на сферических поверхностях с радиусами
R
0
,
R
1
,
R
и
R
2
.
При
r
=
R
0
из условия отсутствия теплообмена в полости шарового
включения с учетом равенства (3) получим
∂T
1
∂r
r
=
R
0
= (
A
1
−
2
B
1
/
R
3
0
)
cos
θ
= 0
,
или
A
1
= 2
B
1
/
R
3
0
.
(8)
При
r
=
R
1
из условий непрерывности плотности теплового потока
и распределения температуры следует
T
0
1
r
=
R
1
=
T
0
r
=
R
1
и
T
1
(
R
1
,
θ
)
=
T
(
R
1
,
θ
)
.
Отсюда с использованием равенств (3) и (7) находим
A
1
−
2
B
1
R
3
1
=
A
2
α
2
−
4
α
3
−
B
2
+
α
R
3
1
ε,
A
1
+
B
1
R
3
1
=
A
1
−
2
α
+
2
α
2
+
B ε
R
3
1
,
(9)
где
α
=
aR
1
и
ε
= exp(
−
α
)
.
Из аналогичных условий при
r
=
R
с
98
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012