В данной работе ограничимся рассмотрением композита, модифи-
цированного элементами в виде полого шара, который можно считать
допустимым приближением к геометрической форме фуллерена [1].
Известно [2], что фуллерены при определенных условиях могут вза-
имодействовать с материалом полимерной матрицы. В этом случае
атомы углерода устанавливают химические связи с атомами и моле-
кулами, входящими в состав матрицы, что приводит к образованию
промежуточного слоя между фуллереном и матрицей. Такой слой мо-
жет возникнуть и при модификации композита включениями иной
природы.
Математическую модель переноса тепловой энергии в композите
построим в предположении, что шаровые включения в общем слу-
чае не контактируют между собой, т.е. отделены друг от друга слоем
материала матрицы. Композит считаем состоящим из множества со-
ставных шаровых частиц с наружным радиусом
R
2
,
каждая из которых
включает полый шар с наружным радиусом
R
1
,
окруженный промежу-
точным шаровым слоем толщиной
R
−
R
1
,
и шарового слоя толщиной
R
2
−
R
из материала матрицы. Примем, что такая составная части-
ца является представительным элементом структуры композита и в
тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом
однородного материала, коэффициент теплопроводности
λ
которого
подлежит определению как эффективная характеристика композита.
Таким образом, модель композита содержит четыре фазы: включе-
ние, промежуточный слой, слой матрицы и неограниченный массив
однородного материала. При этом отношение
R
3
1
/
R
3
2
будем считать
объемной концентрацией
C
V
включений в композите.
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой составной
частицы и окружающего ее однородного материала, полагая коэффи-
циенты теплопроводности
λ
1
и
λ
2
материалов соответственно полого
шара и матрицы заданными, а коэффициент теплопроводности проме-
жуточного слоя непрерывно изменяющимся между значениями
λ
1
и
λ
2
.
Тепловой контакт на каждой из сферической поверхности, разде-
ляющей контактирующие фазы, примем идеальным.
Центр полого шара с внутренним радиусом
R
0
поместим в начале
сферической системы координат. Примем, что на большом расстоянии
r R
2
от начала координат задан вектор градиента температурного
поля в однородном материале, направленный по оси сферической си-
стемы координат, от которой происходит отсчет угловой координаты
θ
,
т.е. при
r
→ ∞
установившееся распределение температуры в этом
материале описывает функция
T
∞
(
r, θ
)
=
Gr
cos
θ
,
где
G
—
модуль
вектора градиента. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа,
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012