наружным радиусом
R
1
,
окруженный слоем материала матрицы. При-
мем, что такая составная частица с наружным радиусом
R
2
является
представительным элементом структуры композита и в тепловом от-
ношении взаимодействует с неограниченным массивом однородного
материала, коэффициент теплопроводности
λ
которого подлежит опре-
делению как эффективная характеристика композита. Таким образом,
модель композита содержит три фазы: включение, слой матрицы и
неограниченный массив однородного материала. При этом отношение
R
3
1
/
R
3
2
равно объемной концентрации
C
V
включений в композите. Та-
кая модель формально применима во всем промежутке
C
V
2
[0
,
1]
,
но
ее использование корректно до таких значений
C
V
<
1
,
при которых
влияние теплового взаимодействия между соседними включениями
можно считать мало существенным.
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой составной
частицы и окружающего ее однородного материала, полагая коэф-
фициенты теплопроводности
λ
1
и
λ
2
материалов соответственно по-
лого шара и матрицы заданными. Термическое сопротивление меж-
ду включением и матрицей, характеризующее неидеальный тепловой
контакт на разделяющей их поверхности радиусом
R
1
,
является ве-
личиной, обратной коэффициенту
α
контактного теплообмена. При
α
→ ∞
тепловой контакт на этой поверхности становится идеаль-
ным. Тепловой контакт на сферической поверхности радиусом
R
2
,
отделяющей составную частицу от массива однородного материала,
примем идеальным.
Центр полого шара с внутренним радиусом
R
0
и наружным ра-
диусом
R
1
< R
2
поместим в начале сферической системы координат.
Примем, что на большом расстоянии
r
от начала координат задан
вектор градиента температурного поля в однородном материале, на-
правленный по оси сферической системы координат, от которой про-
исходит отсчет угловой координаты
θ
,
т.е. при
r
→ ∞
установившее-
ся распределение температуры в этом материале описывает функция
T
∞
(
r, θ
)
=
Gr
cos
θ
,
где
G
—
модуль вектора градиента. Эта функция
удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координа-
тах имеет вид
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂T
∂r
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂θ
sin
θ
∂T
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
T
∂ϕ
2
= 0
.
(1)
В данном случае благодаря параллельности заданного вектора гра-
диента температурного поля и оси отсчета угловой координаты
θ
рас-
пределение температуры симметрично относительно этой оси и не
зависит от угловой координаты
ϕ
,
т.е.
∂
2
T/∂ϕ
2
≡
0
.
По мере приближения к составной шаровой частице температурное
поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
85