(
Знак
>
во второй строке появляется за счет того, что в
O
(
t
)
есть такие
точки
s
,
что
EI
{
E
t
}
I
{
E
s
}
=
p
2
w
,
но в вычислении суммы мы вместо
этого считаем, что
EI
{
E
t
}
I
{
E
s
}
= 0
.)
Подставляя последнее выражение в формулу (15), получаем оценку
D
ξ
w
>
λ
w
1
−
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
+
+2
λ
w
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
1
1
−
p
+
. . .
+
1
(1
−
p
)
d
+1
−
(
w
+ 1)(
d
+ 1)
.
Так как
1
1
−
p
+
. . .
+
1
(1
−
p
)
d
+1
> d
+ 1
,
то
D
ξ
w
>
λ
w
1
−
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
+
+ 2
λ
w
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
(
d
+ 1
−
(
w
+ 1)(
d
+ 1)) =
=
λ
w
1
−
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
(1
+ 2
w
(
d
+ 1))
>
>
λ
w
1
−
2
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
(1
+
w
)(
d
+ 1)
.
Лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы 2.
Воспользуемся оценкой, полученной
в работе [6]. Пусть
{
Z
n
,
n
2
V
}
—
система случайных величин с
графом зависимостей
G
.
Определение и свойства графа зависимо-
стей приведены в работе [7]. Обозначим через
D
максимальную сте-
пень вершины в
G
.
Пусть существует число
B >
0
,
для которого
P
{
|
Z
n
−
EZ
n
|
6
B
}
= 1
для любого
n
2
V
.
Тогда для случайной
величины
W
=
P
n
2
V
Z
n
имеет место оценка
P
W
−
E
W
√
D
W
< x
−
Φ(
x
)
6
32(1
+
√
6)
|
V
|
D
2
B
3
/
(
D
W
)
3
/
2
.
(16)
Применим оценку (16) к набору случайных индикаторов
{
I
{
E
t
}
,
t
= 1
, . . . ,
T
}
.
В этом случае можно взять
B
= 1
.
Граф зависимостей
системы
{
I
{
E
t
}
,
t
= 1
, . . . ,
T
}
обладает тем свойством, что вершина
с номером
t
и набор вершин
{
1
, . . . ,
T
}\
O
(
t
)
не связаны ни одним
ребром (см. (10)). Значит,
D
6
2(
w
+1)(
d
+1)
.
Подставим полученные
оценки в (16)
F
ξ
w
(
x
)
−
Φ(
x
)
6
128(1
+
√
6)
T
(
w
+ 1)
2
(
d
+ 1)
2
/
(
D
ξ
w
)
3
/
2
.
Далее воспользуемся оценкой (5) для дисперсии
D
ξ
w
F
ξ
w
(
x
)
−
Φ(
x
)
6
128(1
+
√
6)
T
(
w
+ 1)
2
(
d
+ 1)
2
λ
3
/
2
w
(1
−
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
(
w
+ 1)(
d
+ 1))
3
/
2
=
=
128(1
+
√
6)(
w
+ 2)
2
(
d
+ 1)
2
√
T p
3
/
2
w
(1
−
p
)
3(
d
+1)
(1
−
p
w
(1
−
p
)
2(
d
+1)
(
w
+ 1)(
d
+ 1))
3
/
2
.
Теорема 2 доказана.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
27