Замечание.
Отметим также, что наличие членов с младшими про-
изводными и поведение коэффициентов при младших членах на бес-
конечности тоже влияют на предельный порядок роста решения на
бесконечности. Так, например, в отсутствии членов первого порядка
в уравнении (3) для случая
s
= 2
ограничение на поведение решения
будет другим
u
(
x
)
=
o
(
log
2
1
−
σ
|
x
|
)
при
|
x
| → ∞
.
Теорема 3.
Пусть
σ <
1
,
и пусть
b
i
(
x
)
=
O
(1
/
|
x
|
)
при
|
x
| → ∞
.
То-
гда не существует положительных решений
u
задачи (1), (2) в области
G
с любым действительным параметром
q
,
такого, что выполняется
одно из следующих условий:
1)
s <
1
,
и
u
(
x
)
=
o
(
|
x
|
2
−
s
1
−
σ
)
при
x
→ ∞
;
2)
s
>
1
,
и
u
(
x
)
=
o
(
|
x
|
1
−
s
1
−
σ
)
при
x
→ ∞
.
Если
0
6
σ <
1
,
и решение
u
удовлетворяет одному из этих усло-
вий, то
u
имеет компактный носитель.
Доказательства сформулированных утверждений основаны на ис-
пользовании принципа максимума для равномерно эллиптических не-
дивергентных уравнений. Применяя технику, развитую в [1, 2], мы
строим функции сравнения
v
(
ρ
)
,
где
ρ
2
=
q
|
ˆ
x
|
2
+
x
2
n
,
имеющие опре-
деленное поведение на бесконечности, такие что
Lv
6
a
|
x
|
−
s
|
p
|
σ
.
При этом выбор аргумента функции сравнения обеспечивает выпол-
нение однородного условия Неймана на некомпактной части границы
∂G
∩ {|
x
|
> r
}
,
r
>
r
0
.
Отметим, что величина
q
|
ˆ
x
|
2
+
x
2
n
будет положительным при больших
x
n
даже, если
q
отрицательно. На
первом шаге нужно рассмотреть
0
6
σ <
1
,
и показать, что если
u
→
0
при
x
→ ∞
,
то
u
имеет компактный носитель. Тогда остается доказать,
что всякое решение, имеющее ограничения роста на бесконечности,
сформулированные выше, стремится к нулю при
x
→ ∞
.
Это завершит
доказательство.
Если же в уравнении
σ <
0
,
то этот случай может быть сведен
к случаю положительного степенного показателя с помощью подста-
новки
u
=
w
γ
,
где число
γ
2
(0
,
1)
.
Отметим, что все теоремы остаются верными и в случае однород-
ного условия Дирихле на некомпактной части границы.
Работа проводилась при частичной поддержке РФФИ, грант
№ 11-01-00989-а.
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012