УДК 519.234.3
В . Б . Го р я и н о в
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
АВТОРЕГРЕССИИ
Рассмотрен процесс пространственной авторегрессии — стацио-
нарного случайного поля на двумерной декартовой целочисленной
решетке, заданного рекуррентным двумерным авторегрессионным
уравнением. Предложены знаковые оценки коэффициентов авторе-
грессионного уравнения. Доказана состоятельность этихоценок.
E-mail:
vb-goryainov@mail.ru
Ключевые слова:
авторегрессионное поле, знаковые оценки, состоя-
тельность.
Во многих областях науки и техники, например геологии, гео-
графии, сельском хозяйстве, при анализе и обработке изображений,
наблюдения представляют собой случайное поле, заданное на пря-
моугольной целочисленной решетке. Как показано в ряде работ [1–
3],
подходящей моделью описания пространственной зависимости та-
ких наблюдений является модель двумерного авторегрессионного по-
ля
X
ij
,
заданного уравнением
X
ij
=
a
10
X
i
−
1,
j
+
a
01
X
i
,
j
−
1
+
a
11
X
i
−
1,
j
−
1
+
ε
ij
,
i
,
j
=
0,
±
1,
±
2,
. . .
,
(1)
где
a
=
(
a
10
,
a
01
,
a
11
)
—
вектор авторегрессионных коэффициентов;
ε
ij
—
независимые одинаково распределенные случайные величины
с нулевым математическим ожиданием
E
ε
ij
=
0
и конечной диспер-
сией
σ
2
=
D
ε
ij
.
Эта модель является естественным обобщением процесса авторе-
грессии, используемого при описании временных рядов.
Основной задачей изучения уравнения (1) является оценивание его
коэффициентов по наблюдениям
X
ij
на некотором подмножестве це-
лочисленной решетки. В большинстве работ по оцениванию вектора
a
используют различные модификации метода максимального правдо-
подобия и наименьших квадратов [2, 4], которые, к сожалению, теря-
ют эффективность при негауссовском характере поля
ε
ij
,
например,
при реставрации архивных кинофотопленок, покрытых царапинами
и пятнами. Между тем оценки наименьших квадратов чувствительны
к нарушению предположения нормальности
ε
ij
[5].
В линейных ре-
грессионных моделях и авторегрессионных процессах в этом случае
обычно применяют оценки, более устойчивые к загрязнению выборки
резко выделяющимися наблюдениями, например знаковые оценки [6].
Знаковый методиспользует не сами наблюдения
X
ij
,
а только их знаки
164
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012