ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
137
нитных полях, и покажем, что это решение указывает на существова-
ние интегралов движения, имеющих место, когда некоторые из огра-
ничений (5) строго выполняются (т. е. когда технические возможно-
сти достаточно велики и позволяют применять такие управляющие
воздействия, которые необходимы для реализации найденных инте-
гралов) и определяют совершенно непривычные траектории движе-
ния, энергетически наиболее выгодные в пространстве
1 2 3
( , , , )
t x x x
.
Решение получим, воспользовавшись теоремой, выражающей наибо-
лее общие из известных на сегодня необходимые условия оптималь-
ности [5, с. 232—233].
Примем следующие допущения. Пусть
( )
t
r
—
абсолютно не-
прерывная трехмерная вектор-функция фазовых координат
1 2 3
( , , )
x x x
,
удовлетворяющая уравнению (2); ( ,
)
ϕ
r
A
—
четырех-
мерная абсолютно непрерывная вектор-функция фазовых координат
1 2 3
( , , , )
A A A
ϕ
,
удовлетворяющая уравнениям (3);
( )
t
v
—
почти всюду
на
0 1
( , )
t t
измеримая по Лебегу трехмерная вектор-функция управле-
ния;
0 1 2 3
( , , , ),
i
i
i
i
i
u u u u
=
u
0 1 2 3
( , , , )
w w w w
=
w
—
измеримые по Лебегу
управляющие четырехмерные вектор-функции управления, а подын-
тегральная функция
0
( , , , , , , , , )
f
t
ϕ
r
1 2 3
r A v u u u w
функционала (1) не-
прерывна, непрерывно дифференцируема и ее модуль мажорируется
на
0 1
( , )
t t
функцией
( )(
| | + 1)
s t
y
,
где
( )
s t
—
некоторая неотрицатель-
ная интегрируемая функция: = ( , ,
).
ϕ
r
y r A
Теорема.
При удовлетворении принятых допущений оптималь-
ное управляемое движение распределенных заряженных масс подчи-
няется дифференциальному уравнению
= + [
]
( ( )/ )
c
c
ρ
ρ
ϕ
ρ
× − −
∇ −
r
p E v H
A v
2
2
2 2
1 ( / )
+ (
)
+
1 /
m
m
d
c
v c
dt
c t
v c
ρ
ρ
ρ
ρ
∂
⎡
⎤
−
− − ⋅∇ −
∇
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
−
r
A
v
v
1
1
3
3
1
1
+
,
t
t
i
i i
i
i
i
t
t
d
d d
v
v d
dt
c
dt c
ρ
ρ
ρ τ
ρ
τ
=
=
⎛
⎞
+ −
− +
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∑ ∑
∫
∫
u
w w
u
(6)
причем в случае недостижения ограничений (5) в отношении управ-
ляющих переменных
0
, ,
= 1, 2, 3,
i
i
u w i
задача (1)—(5) допускает сле-
дующие интегралы движения:
1
1
=
;
t
t
t
t
d
d
ρ
τ
ρ τ
−
∫
∫
v
v
(7)