76
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
[
]
[ ]
[ ] 2 ,
2
0.
G
G m m G m
m
D r
D u
D
ψ
β
ψ
β
∂
=−
+
=
∂
Отсюда получаем
[ ,
]
[ ,
]
;
;
[ ]
[ ]
G m
G m
m
m
G m
G m
D u
D u
D
D
ϕ
ψ
α
β
ϕ
ψ
=
=
[ ]
[
]
(
)
[
]
(
)
2
2
1
,
,
min [ ]
.
[ ]
[ ]
n
G m
G m
G
G
m
G m
G m
D u
D u
D r D u
D
D
ϕ
ψ
ϕ
ψ
=
⎡
⎤
=
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
Отметим, что коэффициенты
,
m m
α β
не зависят от числа
n
(
)
n m
>
(
как и функции
( ) ( )
( )
1
2
, ,
, , ,
,
m
x y
x y
x y
ϕ
ϕ
ϕ
…
и
( )
1
, ,
x y
ψ
( )
2
, , ,
x y
ψ
…
( )
,
m
x y
ψ
).
Например,
( )
(
)
1
1
1
,
exp
cos ( ),
x y
x
y
ϕ
λ
λ
= −
( )
(
)
1
1
1
,
exp
sin ( );
x y
x
y
ψ
λ
λ
= −
( )
(
) ( )
(
)
1 2
1
1
2
2
2
2 2
2
1 2
1 2
4
exp
cos ( )
,
exp
cos
;
(
)
(
)
x
y
x y
x
y
k
λ λ
λ
λ
ϕ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
= −
−
+ + −
( )
(
) ( )
(
)
1 2
1
1
2
2
2
2 2
2
1 2
1 2
4
exp
sin ( )
,
exp
sin
.
(
)
(
)
x
y
x y
x
y
k
λ λ
λ
λ
ψ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
= −
−
+ + −
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Л е о н т ь е в А.Ф. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1976. – 536 с.
2.
Л е о н т ь е в А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. – М.:
Наука, 1980. – 384 с.
3.
Т и м а н А.Ф., Т р о ф и м о в В.Н. Введение в теорию гармонических
функций. – М.: Наука, 1968. – 207 с.
Статья поступила в редакцию 28.09.2012