ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
71
УДК 517.57
А.В. Копаев
О ПРИБЛИЖЕНИИ В УГЛЕ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Найдены коэффициенты линейной комбинации действительных и
мнимых частей конечного числа экспонент, минимизирующие ин-
теграл энергии разности между данной функцией, гармонической
в угле, и этой линейной комбинацией.
E-mail:
5736234@mail.ru
Ключевые слова:
приближение функций, гармонические функции, ин-
теграл энергии.
Приближению аналитических функций полиномами из экспонент
(
и разложению в ряды экспонент) посвящено огромное количество
работ (например, [1, 2]). Поскольку при действительном
λ
и ком-
плексном
z x yi
= +
( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
exp
exp
exp cos
exp sin ,
z
x yi
x
y
x
y i
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
+ =
+
гармонические функции двух переменных естественно приближать
линейными комбинациями (и разлагать в ряды) гармонических
функций
(
)
exp
cos(
)
m
m
x
y
λ
λ
и
( )
exp
sin (
).
m
m
x
y
λ
λ
Пусть (
1 2
, , , , )
n
λ λ
λ
… …
—
возрастающая последовательность по-
ложительных чисел. Поскольку ряд экспонент
1
exp(
)
m
m
m
c
z
λ
∞
=
−
∑
(
где
m
c
—
комплексные числа) сходится в некоторой полуплоскости
( )
0
{
Re }
z x
>
[1],
то гармонические функции следовало бы прибли-
жать линейными комбинациями функций в полуплоскости:
( )
(
)
,
exp
cos (
);
m
m
m
p x y
x
y
λ
λ
= −
( )
(
)
,
exp
sin (
).
m
m
m
q x y
x
y
λ
λ
= −
Однако метод Трефтца в этом случае неприменим, так как инте-
грал Дирихле, который также называют интегралом энергии, от
функций
( , )
m
p x y
и
( , )
m
q x y
по указанной полуплоскости бесконе-
чен. Известно, что интеграл Дирихле от функции
( , )
u x y
по области
G
определяется формулой [3]
[ ]
2
2
.
G
G
u
u
D u
dx dy
x
y
⎡
⎤
∂
∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=
+
⎜ ⎟ ⎢
⎥
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∂
∂
⎝ ⎠
⎣
⎦
∫∫