102
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
Функция Грина [5] имеет вид
( )
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
3
3
2
3
2
2
3
,
2 1
3 1
1
1
3!
3!
2!
x x
x
x
G x x H x x
x
x
x
x
−
⎡
⎤
⎡
⎤
= −
+ − − −
+ − − −
⎣
⎦
⎣
⎦
,
где
(
)
H x x
−
—
функция Хевисайда.
Заменяя интегралы конечными суммами, уравнения (4) можно
привести к конечномерной системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений:
( )
[
]
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
2
2
1
1
.
Ω
Ω
M q
C q
B
τ
τ
τ
τ
τ
+
=
G
G
(5)
В отличие от формулировки краевой задачи в виде дифференци-
альных уравнений, где граничные условия учитываются при постро-
ении координатных функций, в эквивалентной формулировке в виде
интегральных уравнений граничные условия уже содержатся в самих
уравнениях.
Функции
P
(
t
)
и
M
(
t
)
неизвестны и могут быть вычислены, если
систему (5) дополнить уравнениями образования новых поверхно-
стей с запаздыванием [6—8]:
( )
( )
(
)
( )
( )
[
]
( )
(
) ( )
( )
( )
1
0
0
Δ
Λ ;
max 0;Δ ;
Λ Λ
;
Λ Λ ,
0,
u
H s
T
T
τ
τ
ν τ
τ
η τ
τ
τ
τ
η τ
τ
τ
τ
= − + − −
=
= − +
=
≤
(6)
где
H —
расстояние от правого торца инструмента до средней по-
верхности торца детали в начальный момент времени;
ν
—
частота
вращения детали;
0
s
—
скорость подачи заготовки;
0
Λ — отклоне-
ние поверхности торца заготовки под режущей кромкой в начальный
момент времени;
Λ
—
глубина отверстия под режущей кромкой;
( )
( )
(
)
1
2
1
0
,
2
u
u
d
Σ
δ
τ
τ ζ
ζ
ζ
= − ∂
∂
∫
—
осевое перемещение правого тор-
ца стержня;
η
—
толщина срезаемого слоя материала. Зная величину
,
η
можно определить
P
(
t
)
и
M
(
t
)
по дробно-рациональному закону
резания [9]:
( )
( )
( )
(
)
( )
2
0
;
1
c
h r
h
P k h
h
η τ
η τ
τ
η τ
∗
∗
∗
∗
+
=
+
(7)
( )
( )
,
T
M e K P
τ
τ
∗
=
(8)