100
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
Рис. 3. Нестационарные граничные условия на правом торце
Таким образом, граничные условия задачи имеют вид
при
0
ζ
=
(0, ) 0
i
u
τ
=
,
( )
0,
0
i
u
τ
′
=
;
(1)
при
1
ζ
=
( )
2
1
(1, )
sin
,
M
u
e
τ
τ
χ
×
=
( )
3
1
(1, )
1
cos
;
M
u
e
τ
τ
χ
⎛
⎞
×
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
(2)
при
ζ
α
=
( )
2
( , )
sin
,
M
u
e
τ α
α τ
χ
=
( )
3
( , )
1
cos
M
u
e
τ α
α τ
χ
⎛
⎞
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
,
(3)
где
e
—
безразмерный эксцентриситет сечения;
χ
—
отношение
крутильной и максимальной изгибной жесткости поперечного сече-
ния стержня.
Данная задача может быть сформулирована в виде системы диф-
ференциальных уравнений в частных производных, описывающих
малые параметрические колебания стержня. Однако решение этой
системы уравнений сопряжено с рядом трудностей, поскольку данная
краевая задача является многоточечной. Кроме граничных условий
на левом и правом концах стержня должны быть выполнены условия
равенства нулю перемещений в точке стержня, находящейся под
промежуточной опорой в текущий момент времени. Метод Галерки-
на для сведения задачи к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений в данном случае неэффективен, поскольку на каждом шаге
интегрирования конечномерной системы необходимо пересчитывать
координатные функции с учетом изменившегося положения опоры, а
следовательно, повторять всю процедуру метода.