УДК 532.59; 537.29
С. О. Ю р ч е н к о, И. Н. А л и е в
ОПЕРАТОРНЫЙ СПОСОБ ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ
ПРОСТЫХ ВОЛН В ПРИБЛИЖЕНИИ
БУССИНЕСКА
Предложен ператорный способ вывода эволюционных уравнений.
Приведены примеры использования нового способа к выводу уравне-
ний простых волн типа Кортевега – де Фриза, Бенджамина – Оно и
Бюргерса.
E-mail:
st.yurchenko@mail.ru
Ключевые слова
:
нелинейные уравнения, уравнение Кортевега – де Фриза,
Бюргерса, Бенджамина – Оно.
Уравнения Буссинеска описывают квадратично-нелинейные волны
в ряде систем, допускающих дисперсию. К таковым можно отнести
волны на поверхности жидкости небольшой глубины, нелинейные га-
зодинамические возмущения и звуковые волны с дисперсией (в том
числе с затуханием), ионно-звуковые волны в плазме без магнитного
поля и в сильном магнитном поле, волны огибающих [1], нелинейные
возмущения электронно-дырочной плазмы в графене [2].
Исходные уравнения в описываемых случаях — уравнения Навье –
Стокса, уравнения непрерывности и энергии, а также уравнение не-
прерывности электрического заряда и уравнения, описывающие элек-
тромагнитное поле в случае плазмы, дополненные соответствующими
граничными условиями.
Приближение Буссинеска состоит в учете равносильного влияния
квадратичной амплитудной нелинейности и эффектов, обусловленных
линейной дисперсией. Такой подход получил широкое распростране-
ние, так как позволяет проследить за совместными эффектами диспер-
сии и нелинейности.
В данной работе излагается новый способ вывода эволюционных
уравнений простых волн для систем различной природы, квадратично-
нелинейные возмущения в которых описываются в приближении Бус-
синеска.
Операторное уравнение простых волн.
В уравнениях Буссине-
ска учтены квадратично-нелинейные слагаемые и кубическая диспер-
сия [1, 3]
u
t
+ (u
r
)
u +
c
2
(
η
)
η
r
η
+
2
c
(
η
0
)
β
η
0
Δ
r
η
= 0;
η
t
+
r
(
η
u) = 0
,
(1)
где
u
—
вектор скорости возмущений;
η
—
обобщенная “плотность”
(
глубина, напряженность магнитного поля);
c
(
η
)
—
скорость возмуще-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
21