где
w
1
,
w
2
, . . .
—
нелокальные переменные. Тогда любая нелокальная
симметрия в накрытии
τ
имеет вид
˜
Э
ϕ,A
= ˜
Э
ϕ
+
N
X
i
=1
a
j
∂
∂w
j
,
где
ϕ
= (
ϕ
1
, . . . ,
ϕ
m
)
,
A
= (
a
1
, . . . ,
a
N
)
,
ϕ
i
,
a
j
2
C
∞
(
˜
E
)
,
причем функ-
ции
ϕ
i
,
a
j
удовлетворяют уравнениям:
˜
l
F
(
ϕ
)
= 0
,
(7)
˜
D
i
(
a
j
)
= ˜
Э
ϕ,A
(
X
ij
)
.
(8)
Для введения понятия нелокального закона сохранения строится
аналог горизонтального комплекса де Рама на многообразии
˜
E
.
Это
построение легко осуществить с использованием процедуры подня-
тия на многообразие
˜
E C
-
дифференциальных операторов, которое в
локальных координатах определяется соответствием
ˉ
D
i
7
→
˜
D
i
.
Кого-
мологии горизонтального комплекса де Рама на
˜
E
будем обозначать
˜
H
k
(
˜
E
)
.
Группу
˜
H
n
−
1
(
˜
E
)
по аналогии с локальной теорией будем назы-
вать
группой нелокальных законов сохранения уравнения
E
.
Заметим,
что горизонтальный комплекс де Рама на
˜
E
может быть определен
также и инвариантно, подобно горизонтальному комплексу де Рама
на
E
∞
.
Легко видеть, что элементы группы
˜
H
1
(
˜
E
)
определяют одномер-
ные накрытия над уравнением
˜
E
.
Действительно, если
[
ω
]
2
˜
H
1
(
˜
E
)
,
где
ω
=
n
X
i
=1
X
i
dx
i
,
X
i
2
C
∞
(
˜
E
)
,
то условие
˜
dω
= 0
замкнутости фор-
мы
ω
равносильно системе условий
˜
D
i
(
X
j
)
= ˜
D
j
(
X
i
)
.
Следовательно
поля
˜
D
i
= ˜
D
i
+
X
i
∂
∂w
,
i
= 1
, . . . ,
n,
определяют одномерное накрытие
над уравнением
˜
E
.
В частности, элементы группы
ˉ
H
1
(
E
)
определяют
накрытия уравнения
E
∞
.
Можно показать, что существует взаимно од-
нозначное соответствие между элементами группы
ˉ
H
1
(
E
)
и классами
эквивалентностей одномерных накрытий над
E
∞
специального вида
(
задаваемых полями
˜
D
i
= ˉ
D
i
+
X
i
∂
∂w
,
i
= 1
, . . . ,
n
,
где
X
i
2
C
∞
(
E
∞
)
).
В случае уравнения с двумя независимыми переменными имеется вза-
имно однозначное соответствие между классами эквивалентностей од-
номерных накрытий рассматриваемого вида и законами сохранения
уравнения
E
.
Задача реконструкции симметрий.
Пусть
τ
:
˜
E → E
∞
—
неко-
торое накрытие уравнения
E
∞
,
а
ϕ
= (
ϕ
1
, . . . ,
ϕ
m
)
,
ϕ
i
2
C
∞
(
˜
E
)
, —
решение уравнения (7). Тогда может оказаться, что
τ
-
симметрия ви-
да
˜
Э
ϕ,A
не существует, так как система уравнений (8) для данного
210
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012