зие
˜
E
с
n
-
мерным интегрируемым распределением
˜
C
и такое регу-
лярное отображение
τ
многообразия
˜
E
на
E
∞
,
что для любой точки
θ
2
˜
E
касательное отображение
τ
,
θ
является изоморфизмом плоско-
сти
˜
C
θ
на картановскую плоскость
ˉ
C
τ
(
θ
)
уравнения
E
∞
в точке
τ
(
θ
)
.
Многообразие
˜
E
называется
накрывающим уравнением
.
Для вычислений используется координатная интерпретация поня-
тия накрытия.
В силу регулярности
τ
многообразие
˜
E
и отображение
τ
:
˜
E → E
∞
локально можно реализовать как прямое произведение
E
∞
×
W
,
W
R
N
—
открытое множество,
0
< N
6
∞
,
и естественную
проекцию
E
∞
×
W
−→ E
∞
соответственно. Тогда распределение
˜
C
на
˜
E
=
E
∞
×
W
может быть задано системой векторных полей
˜
D
i
= ˉ
D
i
+
N
X
j
=1
X
ij
∂
∂w
j
,
i
= 1
, . . . ,
n,
(3)
где
X
i
=
N
X
j
=1
X
ij
∂
∂w
j
,
X
ij
2
C
∞
(
˜
E
)
, —
τ
-
вертикальные поля на
˜
E
,
w
1
,
w
2
, . . .
—
стандартные координаты в
R
N
(
нелокальные перемен-
ные
).
Число
N
(
размерность слоя проекции
τ
)
называют
размерно-
стью
накрытия
τ
.
Условие интегрируемости Фробениуса имеет вид
[
˜
D
i
,
˜
D
j
]
= 0
,
i, j
= 1
, . . . ,
n
,
или
˜
D
i
(
X
jk
)
= ˜
D
j
(
X
ik
)
(4)
для всех
i, j
= 1
, . . . ,
n,
0
6
k
6
N
.
Соотношения (4) представляют
собой систему дифференциальных уравнений на функции
X
ij
,
описы-
вающие всевозможные
N
-
мерные накрытия уравнения
E
.
Если накрытие уравнения
E
=
{
F
= 0
}
задано полями (3), то фор-
мально можно считать, что накрывающее уравнение этого накрытия
является бесконечным продолжением следующей системы
F
= 0
,
∂w
j
∂x
i
=
X
ij
,
i
= 1
, . . . ,
n, j
= 1
, . . . ,
N.
Рассмотрим в качестве примера одномерное накрытие уравнения
Кортевега — де Фриза
E
=
{
u
t
=
uu
x
+
u
xxx
}
,
задаваемое полями:
˜
D
x
= ˉ
D
x
+
p
;
+
1
6
w
2
∂
∂w
,
(5)
˜
D
t
= ˉ
D
t
+
p
2
+
1
3
wp
1
+
1
3
p
2
;
+
1
18
w
2
p
;
∂
∂w
.
(6)
208
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012