Конечноэлементная постановка задачи.
На отрезке
[0
,
1]
зада-
дим сетку
ω
h
=
{
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
N
}
,
для которой шаг
h
i
=
x
i
−
x
i
−
1
,
i
= 1
. . .
(
N
−
1)
;
i
-
м отрезком разбиения будем считать отрезок
[
x
i
−
1
,
x
i
]
.
Выберем пространство пробных функций
˜
ϕ
i
,
состоящее из кусочно-
линейных финитных функций, носителями которых являются пары
соседних отрезков разбиения. Будем аппроксимировать распределе-
ние температуры и поле перемещений функциями из данного про-
странства. Представив распределение температуры в стержне в виде
T
=
N
X
i
=1
T
i
e
ϕ
i
(
x
)
,
а поле перемещений в виде
u
=
N
X
i
=1
u
i
e
ϕ
i
(
x
)
,
можно
записать уравнения теплопроводности и движения в слабой поста-
новке и перейти к системе линейных алгебраических уравнений для
уравнений теплопроводности и движения:
1
τ
[
C
]
n
ˆ
T
o
− {
T
}
+
h
˜
K
(
˙
ε, D, α
)
i
+ [
K
T
]
n
ˆ
T
o
=
{
R
T
}
,
1
τ
2
[
M
]
n
ˆ
U
o
−
2
{
U
}
+ ˇ
U
+ [
K
(
D
)]
n
ˆ
U
o
=
{
R
U
(
T
)
}
,
где
{
T
}
—
вектор узловых значений температур;
{
U
}
—
вектор узловых
значений перемещений;
[
C
]
—
матрица теплоемкостей;
h
˜
K
(
˙
ε, D, α
)
i
—
матрица, характеризующая cвязь скорости деформаций на предыду-
щем слое и температуры;
[
K
T
]
—
матрица теплопроводности;
[
M
]
—
матрица масс;
[
K
(
D
)]
—
матрица жесткости;
{
R
T
}
—
вектор правой ча-
сти в уравнении теплопроводности;
{
R
U
(
T
)
}
—
вектор нагрузок, зави-
сящий от температуры, в уравнении для перемещений,
τ
—
шаг по вре-
мени. На каждом временном слое сначала вычисляется распределение
температуры. Затем с использованием найденных значений темпера-
туры на той же сетке решается уравнение движения и определяется, не
превышают ли значения деформаций на отрезках
ε
i
,
i
= 1
. . .
(
N
−
1)
,
значение переменного предела
ε
Di
,
вычисленное на предыдущем слое.
Если на некотором отрезке
ε
i
>
ε
Di
,
то на данном отрезке возрастает
параметр
D
и меняются упругие свойства материала. Если же
ε
i
< ε
Di
,
то на данном отрезке используется значение параметра разрушения с
предыдущего временного слоя. Полученное значение параметра
D
ис-
пользуется для определения температуры на следующем временном
слое.
Результаты расчетов.
Рассмотрим модельную задачу для хрупкого
материала. Зададим размерные параметры задачи с учетом характер-
ных для данного материала свойств:
L
= 0
,
02
м
,
ρ
= 10800
кг
м
3
,
λ
= 3
,
487
Вт
м
∙
K
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
191