Тем самым обнаруживается различие между моделями BTW и
Manna на уровне симметрий. Если в первой для движения границ есть
выделенное направление (вовне области лавины), то во второй выде-
ленного направления нет. Количественная разница между направлен-
ным и ненаправленным движениями состоит в том, что при первом
смещение растет пропорционально времени, а при втором — пропор-
ционально корню из него. Соответственно, число виртуальных волн
возрастает как квадрат числа волн опрокидывания, чем и объясняет-
ся двукратное расхождение в величине динамического показателя для
модели BTW.
Выводы.
Модели BTW и Manna имеют общий механизм развития
границ слоев опрокидывания, не чувствительный к различию в пра-
вилах моделей. В основе этого механизма лежит тангенциальное рас-
пространение выступов границы со скоростью, пропорциональной их
высоте, и ее стохастическое продвижение в радиальном направлении.
Сочетание этих факторов приводит к значению показателя шерохова-
тости
χ
= 1
/
4
,
объясняющему единую для обеих моделей связь между
площадью и периметром лавины.
Однако динамика моделей существенно различается. Если в моде-
ли Manna смещение границ слоев носит лишь случайный характер,
то в модели BTW оно имеет систематическую компоненту. Посколь-
ку эта разница является разницей в симметриях, она естественным
образом сказывается на всех критических показателях, так или ина-
че связанных с динамикой, что разводит большинство свойств этих
моделей.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 10-01-
00786-
а и № 11-01-00887-а)
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
B a k P., T a n g C., W i e s e n f e l d K. Self-organized criticality // Phys. Rev. A.
– 1988. –
V. 38. № 1. – P. 364–374.
2.
B a k P .How nature works: the science of self-organized criticality. – Springer-
Verlag. New York, Inc. 1996. – 205 p.
3.
M a n n a S. S. Two-state model of self-organized criticality // J. Phys. A: Math. Gen.
– 1991. –
V. 24. № 7. – P. L363–L369.
4.
П о д л а з о в А. В. Решение двумерной модели Manna. – М.: ИПМ
им. М.В. Келдыша. 2012. Препринт № 42 – 20 c.
5.
I v a s h k e v i c h E. V., K t i t a r e v D. V., P r i e z z h e v V. B. Waves of
topplings in an Abelian sandpile // Physica A. – 1994. – V. 209. № 3–4. – P. 347–
360.
Статья поступила в редакцию 05.09.2012
128
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012