УДК 517.958
Г. Г. М а л и н е ц к и й, А. В. П о д л а з о в
СРАВНЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ИЗОТРОПНЫХ
КОНСЕРВАТИВНЫХ
САМООРГАНИЗОВАННО-КРИТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ ТИПА КУЧИ ПЕСКА
Рассматриваются модели BTW и Manna — двумерные самоорга-
низованно-критические модели типа кучи песка с изотропными
консервативными правилами. Несмотря на сходство правил и иден-
тичность их симметрий, модели характеризуются различными на-
борами критических показателей. Единственным нетривиальным
совпадением является равенство показателей зависимости между
площадью и периметром области лавин. В работе значение это-
го показателя определяется из условия масштабной инвариантно-
сти стохастического дифференциального уравнения, описывающе-
го рост области лавины для обеих моделей. Установлено, что для
этого процесса направления вовне и внутрь равноценны для модели
Manna и неравноценны для модели BTW. Тем самым обнаружены
различия в симметрии, обуславливающие разные свойства моделей.
E-mail:
tiger@keldysh.ru
Ключевые слова
:
самоорганизованная критичность, масштабная ин-
вариантность, степенные распределения, перенормировка, модели кучи
песка, волны опрокидывания, симметрия.
Введение.
Одним из важнейших типов сложного поведения явля-
ется
масштабная инвариантность
,
т.е. отсутствие у величин, описы-
вающих происходящие в системе процессы, собственных характерных
значений. Статистическим выражением масштабно-инвариантных
свойств служат степенные распределения с плотностью вида
u
(
x
)
x
−
(1
+
α
)
,
(1)
область применимости которых ограничивается только конечностью
размеров рассматриваемой системы и слагающих ее элементов.
Механизм возникновения степенных распределений без тонкой
подстройки параметров системы дает теория самоорганизованной кри-
тичности [1, 2], базовыми для которой являются модели типа кучи
песка. В настоящей работе рассматриваются две родственных модели
этого типа — модель BTW [1] и модель Manna [3].
Правила обеих моделей формулируются на двумерной ортогональ-
ной решетке размера
L
×
L
,
в ячейках которой расположены неположи-
тельные целые числа, традиционно интерпретируемые как количество
песчинок. Любая ячейка более чем с тремя песчинками, считается не-
устойчивыми и
опрокидывается
,
раздавая четыре песчинки ячейкам,
имеющим с ней общую сторону (если ячейка находится на краю, то
песчинки, передаваемые за него, теряются).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
119