При вычислении функциональной производной
h
δ
Φ[u(x
,
t
)]
/
δu
j
(
y
,
ξ
)
i
в (28) используются два правила. Основное правило функ-
ционального дифференцирования
h
δu
i
(
x
,
t
)
/
δu
i
(
y
,
ξ
)
i
=
δ
ij
δ
(
x
−
y)
×
×
δ
(
t
−
ξ
)
и условие физической причинности [7]
δ
Φ [u(x
,
t
)]
δu
j
(
y
,
ξ
)
=
0
при
ξ > t
6
= 0
при
ξ
≤
t
.
Для дельта-коррелированного во времени случайного поля
u(x
,
t
)
h
u
i
(
x
0
,
t
0
)
u
j
(
x
00
,
t
00
)
i
=
δ
ij
2
T
E
h
u
2
i
i
δ
(
t
0
−
t
00
)
Ψ
◦
(
x
0
−
x
00
)
формула Фу-
рутсу-Новикова упрощается и принимает вид
h
u
i
(
x
,
t
)
Φ [u(x
,
t
)]
i
=
=
δ
ij
u
2
i
T
E
Z
d
yΨ
◦
(
x
−
y)
δ
Φ [u(x
,
t
)]
δu
j
(
y
,
t
−
0)
.
(29)
Функциональная производная от функционала
Φ [u(x
,
t
)]
в (29) мо-
жет быть рассчитана исходя из уравнения для индикаторной функции.
Записываем в общем виде уравнение для индикаторной функции
∂ϕ
(
ρ,
x
,
t
)
∂t
= Ω [u(x
,
t
)
,
ϕ
(
ρ,
x
,
t
)]
.
(30)
Правая часть (30) является функционалом от случайного поля
u(x
,
t
)
.
Уравнение (30) переписываем в интегральном виде
ϕ
(
ρ,
x
,
t
)
=
ϕ
◦
(
ρ,
x) +
t
Z
0
Ω [u(x
,
s
)
,
ϕ
(
ρ,
x
,
s
)]
ds.
(31)
Здесь
ϕ
◦
(
ρ,
x)
—
начальное значение индикаторной функции неза-
висящее от случайных флуктуаций скорости несущей среды.
Применяя операцию функционального дифференцирования
h
δ/δu
j
(
y
,
ξ
)
i
к уравнению (31), получаем
δϕ
(
ρ,
x
,
t
)
δu
j
(
y
,
ξ
)
=
t
Z
0
∂
Ω [u(x
,
s
)
,
ϕ
(
ρ,
x
,
s
)]
∂u
k
δu
k
(
x
,
s
)
δu
j
(
y
,
ξ
)
ds
+
+
t
Z
ξ
∂
Ω [u(x
,
s
)
,
ϕ
(
ρ,
x
,
s
)]
∂ϕ
δϕ
(
ρ,
x
,
s
)
δu
j
(
y
,
ξ
)
ds.
(32)
При записи (32) учтено условие физической причинности. Для
дельта-коррелированного во времени случайного процесса в (32) оста-
ется только первый интеграл, который приводит к выражению для
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012