Спектральная функция в физическом пространстве определяется
по автокорреляции
Ψ(x
,
t
)
следующим образом
B
(
k
,
t
)
=
1
(2
π
)
3
Z
d
xe
−
i
k
∙
x
Ψ(x
,
t
)
.
(37)
Процесс кластеризации примеси зависит от микромасштаба, ко-
торый характеризует поведение автокорреляционной функции
Ψ(x
,
t
)
вблизи нуля. Микромасштаб определяется вторыми производными от
автокорреляционной функции
(
∂u
i
(
x
,
t
)
/
∂x
i
)
2
.
Осредненный ква-
драт производной вычисляем, используя спектральное представле-
ние (33)
*
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
2
+
=
−
Z Z
k
0
i
k
00
i
e
i
k
0
∙
x
+
i
k
00
∙
x
h
dσ
i
(
k
0
,
t
)
dσ
i
(
k
00
,
t
)
i
.
Здесь по дважды повторяющемуся индексу производится сумми-
рование.
С учетом (..) записываем осредненный квадрат производной от
флуктуаций скорости жидкости
*
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
2
+
=
u
2
i
Z
d
k
k
2
i
B
(
k)
.
Из последнего выражения и (37) вытекает связь между осреднен-
ным квадратом производной от флуктуации скорости среды и автокор-
реляционной функцией
*
∂u
i
(
x
,
t
)
∂x
i
2
+
=
−
u
2
i
∂
2
Ψ(x
,
t
)
∂x
i
∂x
i
x
=0
.
Из последнего выражения и уравнений (21) и (26) следует, что про-
цесс кластеризации является результатом двух конкурирующих тен-
денций: турбулентной диффузии, приводящей к однородному распре-
делению частиц, и макромасштабного коррелированного движения,
имеющего дивергентный характер.
Решение уравнений для ФПВ.
В этом разделе представлены
решения уравнений для ФПВ распределения концентрации частиц в
переменных Эйлера (22) и Лагранжа (27). Эти уравнения диффузии с
переменным коэффициентом диффузии в пространстве концентраций.
Их решения отражают различную физику формирования областей с
повышенной концентраций частиц в переменных Эйлера и Лагранжа.
Распределение кластеров частиц в переменных Эйлера.
В этом раз-
деле представлен анализ решений уравнений для ФПВ в представле-
нии Эйлера. Решение замкнутого уравнения для ФПВ распределения
концентрации частиц в произвольной точке пространства следует из
уравнения (22)
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012