порядка
I
−
h
2
f
y
+
h
2
12
f
2
y
(
y
1
−
y
0
)
=
hf,
принадлежащему к семейству (4) и аппроксимирующему решения ли-
нейных автономных систем с порядком 4. Его функция устойчивости
имеет вид
R
(
z
)
=
1
+
z/
2
+
z
2
/
12
1
−
z/
2
+
z
2
/
12
.
Многостадийные
ABC
-
схемы.
Эти методы определяются следу-
ющими формулами:
I
+
A
i
hf
y
+
B
i
h
2
f
2
y
(
u
i
(
h
)
−
y
0
)
= (
α
i
I
+
C
i
hf
y
)
hf
(
u
i
−
1
)
,
i
= 1
, . . . ,
s, u
0
(
h
)
=
y
0
,
(6)
y
1
(
h
)
=
s
X
i
=1
β
i
u
i
(
h
)
,
s
X
i
=1
β
i
= 1
.
(7)
Здесь
s
—
число стадий метода,
A
i
,
B
i
,
C
i
,
α
i
,
β
i
—
определяющие
метод коэффициенты, а остальные обозначения такие же, как в (2).
Теорема 7.
Функция устойчивости многостадийной ABC-схемы
определяется по формуле
R
(
z
)
=
s
X
i
=1
β
i
R
i
(
z
)
,
которая вычисляется с помощью рекурсии
R
i
(
z
)
= 1 +
P
i
(
z
)
Q
i
(
z
)
R
i
−
1
(
z
)
,
i
= 1
, . . . ,
s,
R
0
(
z
)
= 1
,
P
i
(
z
)
=
α
i
z
+
C
i
z
2
,
Q
i
(
z
)
= 1 +
A
i
z
+
B
i
z
2
Доказательство
получается непосредственно применением фор-
мул (6) и (7) к тесту Далквиста
y
0
=
λy
,
y
(
x
0
)
=
y
0
.
Замечание 2.
Высказанные в замечании 1 соображения о повы-
шении экономичности
ABC
-
схем в еще большей степени актуальны в
случае многостадийных
ABC
-
схем. Поэтому основной интерес пред-
ставляют схемы, в которых для всех стадий коэффициенты
A
i
и
B
i
одинаковы и
B
=
A
2
/
4
.
Примеры двухстадийных
ABC
-
схем.
Так как исследовать много-
стадийные
ABC
-
схемы значительно сложнее, чем одностадийные, мы
приведем здесь лишь пару примеров двухстадийных схем.
Пример 1.
При выборе
A
1
=
A
2
=
A
,
B
1
=
B
2
=
A
2
/
4
и
α
1
=
α
2
= 1
,
β
1
= 2
/
3
,
β
2
= 1
/
3
получаем однопараметрическое
семейство методов третьего порядка с параметром
A
;
при этом
C
1
=
−
3
4
A
2
+
1
2
A, C
2
=
3
2
A
2
+ 2
A
+
1
2
.
164
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012