УДК 519.622.1
С. С. Ф и л и п п о в, А. В. Т ы г л и я н
ABC
-
СХЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассматриваются новые одношаговые линейно неявные методы
интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. В отличие от методов типа Розенброка в формулы
ABC-схем входит не только матрица Якоби системы дифференци-
альных уравнений, но и ее квадрат.
E-mail:
filippov@keldysh.ru,
m.tygliyan@gmail.com
Ключевые слова
:
жесткие системы ОДУ, одношаговые неявные мето-
ды, линеаризация ОДУ, метод типа Розенброка, ABC-метод
ABC
-
схемы являются численными методами, предназначенными
для решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений
y
0
(
x
)
=
f
(
y
(
x
))
,
y
(
x
0
)
=
y
0
(1)
Одностадийные
ABC
-
схемы задаются формулой
I
+
Ahf
y
+
Bh
2
f
2
y
(
y
1
(
h
)
−
y
0
)
= (
I
+
Chf
y
)
hf.
(2)
Здесь
y
1
(
h
)
—
искомое численное решение на одном шаге интегриро-
вания длины
h
,
а
A
,
B
и
C
—
коэффициенты, определяющие метод
(
и его название),
y
и
f
—
n
-
мерные вектор-функции,
f
y
—
матри-
ца Якоби системы дифференциальных уравнений (1),
I
—
единич-
ная матрица; отметим, что
f
,
f
y
, . . . (
без аргументов) всюду означают
f
(
y
0
)
,
f
y
(
y
0
)
, . . .
.
Для одностадийных
ABC
-
схем (2) справедливы следующие утвер-
ждения [1], легко доказываемые стандартными способами [2, 3].
Теорема 1.
При любых вещественных
A
,
B
,
C
порядок аппрокси-
мации методов
(2)
не ниже первого.
Теорема 2.
Методы
(2)
имеют порядок 2, если и только если
C
=
A
+ 1
/
2
.
При этом главный член ошибки метода равен
y
(
x
0
+
+
h
)
−
y
1
(
h
)
=
h
3
/
3!
f
yy
ff
+
σf
2
y
f
,
где
σ
= 1 + 3
A
+ 6
B,
f
yy
ff
=
n
X
j,k
=1
∂
2
f
i
∂y
j
∂y
k
f
j
f
k
,
i
= 1
, . . . ,
n.
(3)
Теорема 3.
Функция устойчивости метода
(2)
имеет вид
R
(
z
)
=
1
+ (1 +
A
)
z
+ (
B
+
C
)
z
2
1
+
Az
+
Bz
2
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
161