ξ
2
∂
2
A
∂z
2
+
∂
∂r
1
r
∂rA
∂r
−
n
r
rA
+
αk
(
J
)
+
r
2
2
h
z
= 0
,
Ψ =
rA,
ξ
2
∂
∂z
1
rn
∂J
∂z
+
∂
∂r
1
rn
∂J
∂r
−
−
β
2
rn
df
dJ
−
1
2
n
2
dg
(
J
)
dJ
−
αj
ϕ
dk
dJ
−
J
r
= 0
,
(16)
q
=
f
(
J
)
−
1
ξ
2
βr
2
Ψ +
αk
(
J
)
+
r
2
2
h
z
2
,
n
2
=
q
+
q
q
2
−
6
ξ
2
βr
2
(
η
+
g
(
J
))(
r
J
)
2
3(
η
+
g
(
J
))
.
(17)
В новых единицах в задаче появляются следующие безразмерные па-
раметры
ξ
2
=
c
2
m
e
4
πe
2
L
2
0
n
0
,
β
=
8
πk
B
n
0
T
e
0
B
2
0
,
η
=
T
i
0
T
e
0
,
α
=
c
2
K
0
2
eL
0
J
0
=
c
e
K
0
B
0
L
2
0
,
δ
=
B
p
0
B
0
,
h
z
=
H
z
B
0
(18)
и три произвольные функции
g
(
J
)
,
f
(
J
)
,
k
(
J
)
с нормировкой
g
(1)
=
=
f
(1)
=
k
(1)
= 1
.
Уравнение Грэда–Шафранова получаются из уравнений (16) в пре-
деле
ξ
2
1
.
Можно показать [8], что если разложить все функции,
входящие в уравнения (16), в ряды по степеням
ξ
2
,
то нулевые коэффи-
циенты разложений будут удовлетворять уравнению Грэда — Шафра-
нова. Поскольку параметр
ξ
2
в систему (16) входит сингулярно — стоит
при старших производных, то уравнения Грэда–Шафранова не только
предельный, но и вырожденный случай уравнений в двухжидкостном
приближении.
Требование положительности плотности в (17) позволяет легко по-
лучить необходимое условие существования решения уравнений (16).
Из положительности величины
q
следует следующее ограничение на
параметры
ξ
2
β >
max
 
α
+
δ
+
r
2
min
2
h
z
2
r
2
min
,
α
+
δ
+
r
2
max
2
h
z
2
r
2
max
 
.
(19)
При
h
z
= 0
получим в частности
ξ
2
β >
(
α
+
δ
)
2
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
81