ная форма этого оператора на
C
∞
0
(
R
d
)
L
2
(
μ
)
есть форма Дирихле
E
(
f
)
=
Z
r
f
2
dμ.
(3)
В общем случае, чтобы форма Дирихле вида (3) могла быть ас-
социирована с некоторым диффузионным процессом, необходима ее
замыкаемость [2]. Оказывается, что форма Дирихле (3) может быть
замыкаемой и для мер с недифференцируемыми плотностями. Таким
способом строятся диффузии с сингулярными коэффициентами сноса.
2.
Замыкаемость квадратичных форм. Определение 1.
Пусть
E
—
квадратичная формa, определеннaя нa множестве
D
L
2
(
X, μ
)
.
Говорят, что
(
E
,
D
)
зaмыкaемa, если для всякой последовaтельности
функций
f
n
2
D
,
тaкой, что
k
f
n
k
L
2
−→
n
→∞
0
и
E
(
f
n
−
f
m
)
−→
m,n
∞
0
,
вы-
полнено
E
(
f
n
)
−→
n
→∞
0
.
В случае
R
проблема замыкаемости формы (3) полностью реше-
на [3]:
Теорема 1.
Форма
E
,
заданная на
C
=
C
∞
0
(
R
)
формулой
E
(
f
)
=
Z
R
|
f
0
(
x
)
|
2
μ
(
dx
)
,
замыкаема в том и только том случае, если мера
μ
абсолютно непре-
рывна относительно меры Лебега, и соответствующая плотность
%
такова, что для почти всех
x
выполнено условие
%
(
x
)
= 0
или
9
ε >
0 :
x
+
ε
Z
x
−
ε
1
%
(
t
)
dt <
∞
.
(4)
Этот результат был обобщен в работе [4]:
Теорема 2.
Пусть
X
—
линейное пространство,
k
2
X
.
Обо-
значим через
P
проекцию
X
на подпростpaнство
Y
=
k
?
;
пусть
ν
=
μ
◦
P
−
1
.
Пусть
μ
y
,
y
2
Y
—
условные меры, порожденные
μ
на
прямых
{
y
+
tk
|
t
2
R
}
.
Тогда форма
E
,
заданная на
C
∞
o
формулой
E
(
f
)
=
R
∂
k
f
(
x
)
2
μ
(
dx
)
,
замыкаема в том и только том случае, если
для
ν
-
почти всех
y
2
Y
условные меры
μ
y
удовлетворяют условию
(4)
.
Однако уже в случае форм Дирихле с градиентами вдоль двумер-
ного (под)пространства возникают трудности. Для
R
2
М.Фукуcима
высказал следующую гипотезу:
Если форма (3) замыкаема, то ме-
ра
μ
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на
R
2
.
Эта
гипотеза до сих пор остается не доказанной и не опровергнутой.
Пример 1.
Рассмотрим на плоскости салфетку Серпиньского
S
(
рис. 1) — компакт, полученный из треугольника
{
y
>
0
,
y
+
|
x
| √
3
6
1
}
таким путем: сначала вырежем область, ограниченную средними ли-
ниям исходного треугольника; затем применим эту процедуру к трем
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012