116
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
решений. Для существования подобного преобразования необходи-
мо, чтобы функция плотности
( , )
x y
ρ
удовлетворяла уравнению
ln
0,
x
y
x
y
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⎛
⎞
⎛
⎞
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Δ ≡
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
где
2
2
2
2
x y
∂ ∂
Δ = +
∂ ∂
—
лапласиан.
Это уравнение означает что кривизна, определенная метрикой
2
2
( , )(
),
x y dx dy
ρ
+
должна быть равна нулю. Таким образом, возни-
кает задача поиска среди различных преобразований того, которое
инвариантно к любой замене декартовой системы координат и кон-
формно.
Анализируя недостатки алгоритмов анаморфирования и сущно-
сти их работы, можно сделать вывод о том, что компьютерная реали-
зация алгоритма должна учитывать следующие моменты.
1.
На каждом шаге на сдвиг точек (в том числе вершин) в той или
иной степени должны влиять все ячейки разбиения. Для этого необ-
ходимо, чтобы на каждом шаге сдвиг точки был равен векторной
сумме сдвигов от влияния отдельных ячеек.
2.
Влияние ячейки на точку должно состоять в перемещении этой
точки вдоль прямой, соединяющей ее с некоторой точкой ячейки
(
например, с ее центром масс). Это связано с требованием инвари-
антности алгоритма по отношению к выбору системы координат.
3.
Перемещение точки под влиянием ячейки должно убывать с
увеличением расстояния от этой ячейки.
Другими словами, следует сформировать инвариантный алгоритм
анаморфирования по отношению к начальному разбиению визуаль-
ного образа на ячейки (в пределах которых плотность постоянна),
который эффективно работает в режиме реального времени.
Если в качестве
N
ячеек принимаются связные области произ-
вольной формы, граница каждой из которых описана
1, ...,
i
P
=
вер-
шинами, то влияние любой ячейки на рассматриваемую вершину
можно определить, исходя из приведенных ниже соображений.
Пусть произвольная ячейка имеет площадь
1
1
2
2
1
1
1
2
...
...
...
1
i
i
i
i
i
in in
x y
s
x y
x y
=
,
а
( , )
.
i
i
x y
ρ
ρ
=
В случае анаморфирования ячейка должна быть де-
формирована так, чтобы ее площадь стала равной
i
i i
s s
ρ ρ
=
(
ρ
—