114
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
Обратное преобразование построенной анаморфозы из линейного
пространства выбранного показателя в исходное евклидово простран-
ство (см. рис. 3) называется антианаморфозой или морфингом [3].
Существующие численные методы построения анаморфоз [4],
несмотря на разнообразие и простоту реализации, обладают большой
трудоемкостью этапа подготовки исходных данных, медленной схо-
димостью, нарушением целостности получаемого визуального обра-
за, зависимостью от порядка обрабатываемых вершин ячеек матри-
цы, от порядка перебора ячеек и работают, преимущественно, c од-
ним показателем анаморфирования.
Поэтому для решения задачи принятия решения и его последую-
щего моделирования необходимо модифицировать алгоритм ана-
морфирования так, чтобы используя существующие наработки, он
был максимально свободен от перечисленных недостатков.
Математическая постановка задачи работы алгоритма ана-
морфирования.
Пусть
D
—
область на плоскости
R
2
(
площадная фи-
гура, построенная на основе выбранного показателя), которая должна
быть анаморфирована.
Распределение показателя описывается функцией плотности
( ),
z
ρ
определенной априори на части области
D
(
z =
(
x
,
y
) —
точка
на плоскости
R
2
).
Без потери общности можно полагать, что функция
( )
z
ρ
определена на всей плоскости
R
2
,
тогда
ρ
(
z
)
=
const вне области
D
(
например, как среднее значение
ρ
функции ( )).
z
ρ
Анаморфоза задается преобразованием
h
:
R
2
→
R
2
(
h
:
(
x
,
y
)
6
6
(
u
,
v
))
или двумя функциями двух переменных
U
(
x
,
y
)
и
V
(
x
,
y
),
(1)
где
u = U
(
x
,
y
),
v = V
(
x
,
y
).
Эти функции должны быть определены и
непрерывны на области
D
.
Коэффициент изменения площади в окрестности точки (
x
,
y
)
пре-
образованием
h
равен значению якобиана преобразования
h
в этой
точке
( , )
.
U V U V
J U V
x y y x
∂ ∂ ∂ ∂
=
−
∂ ∂ ∂ ∂
Поэтому условие того, что преобразование (1) делает величину
( , )
const,
x y
ρ
ρ
= =
может быть записано как ( , ) ( , ) / .
J U V x y
ρ
ρ
=
Таким образом, задача нахождения анаморфозы сводится к задаче
решения уравнения
( , ) ,
U V U V x y
x y y x
ρ
ρ
∂ ∂ ∂ ∂
−
=
∂ ∂ ∂ ∂
(2)
для которого переменные [
U
(
x
,
y
),
V
(
x
,
y
)]
определяют взаимноодно-
значное преобразование.